数学2 高次方程式 問題 33 解説

方針・初手

(1) は基本的な対称式の変形である。$x^2 + \frac{1}{x^2}$ を経由して計算する、もしくは3乗の展開公式を利用して直接求める。

(2) は相反方程式（係数が左右対称な方程式）である。$\alpha \neq 0$ を確認したうえで、両辺を $\alpha^3$ で割り、$\alpha + \frac{1}{\alpha}$ のかたまりを作る。その後、(1) の結果を利用して解を求める。

解法1

(1)

与えられた $y = x + \frac{1}{x}$ の両辺を2乗すると、

$$y^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$$

よって、

$$x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$$

である。

次に $x^3 + \frac{1}{x^3}$ について、因数分解の公式を用いて変形すると、

$$\begin{aligned} x^3 + \frac{1}{x^3} &= \left( x + \frac{1}{x} \right) \left( x^2 - 1 + \frac{1}{x^2} \right) \\ &= y (y^2 - 2 - 1) \\ &= y^3 - 3y \end{aligned}$$

となる。

また、$x^4 + \frac{1}{x^4}$ については $x^2 + \frac{1}{x^2}$ の2乗から導くことができる。

$$\begin{aligned} x^4 + \frac{1}{x^4} &= \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right)^2 - 2 \\ &= (y^2 - 2)^2 - 2 \\ &= y^4 - 4y^2 + 4 - 2 \\ &= y^4 - 4y^2 + 2 \end{aligned}$$

(2)

与えられた方程式は、

$$\alpha^6 + \alpha^5 - 9\alpha^4 - 10\alpha^3 - 9\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$$

である。$\alpha = 0$ を代入すると $1 = 0$ となり不適であるため、$\alpha \neq 0$ である。

両辺を $\alpha^3$ で割ると、

$$\alpha^3 + \alpha^2 - 9\alpha - 10 - \frac{9}{\alpha} + \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\alpha^3} = 0$$

項をまとめ直すと、

$$\left( \alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3} \right) + \left( \alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2} \right) - 9 \left( \alpha + \frac{1}{\alpha} \right) - 10 = 0$$

ここで $y = \alpha + \frac{1}{\alpha}$ とおく。(1) の結果および $\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2} = y^2 - 2$ を代入すると、

$$(y^3 - 3y) + (y^2 - 2) - 9y - 10 = 0$$

整理して因数分解する。

$$\begin{aligned} y^3 + y^2 - 12y - 12 &= 0 \\ y^2(y + 1) - 12(y + 1) &= 0 \\ (y^2 - 12)(y + 1) &= 0 \end{aligned}$$

これを解くと $y = -1, \pm 2\sqrt{3}$ である。

$y = \alpha + \frac{1}{\alpha}$ より、両辺に $\alpha$ を掛けて整理すると $\alpha^2 - y\alpha + 1 = 0$ であるから、それぞれの $y$ について $\alpha$ を求める。

(i) $y = -1$ のとき

$$\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$$

解の公式より、

$$\alpha = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$$

(ii) $y = 2\sqrt{3}$ のとき

$$\alpha^2 - 2\sqrt{3}\alpha + 1 = 0$$

解の公式より、

$$\alpha = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 - 4}}{2} = \sqrt{3} \pm \sqrt{2}$$

(iii) $y = -2\sqrt{3}$ のとき

$$\alpha^2 + 2\sqrt{3}\alpha + 1 = 0$$

解の公式より、

$$\alpha = \frac{-2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 - 4}}{2} = -\sqrt{3} \pm \sqrt{2}$$

以上より、求めるすべての複素数 $\alpha$ が得られた。

解説

相反方程式の典型問題である。係数が左右対称に配置されている高次方程式を見たら、中央の次数の文字で両辺を割るという定石を思い出すこと。本問は6次方程式であるため $\alpha^3$ で割ることで、対称式の基本定理を用いて次数を下げることができる。

(1) はそのための誘導であり、本番では計算ミスを防ぐために展開して検算する癖をつけておきたい。また、複素数 $\alpha$ を求めるため、解の公式を用いて虚数解が出ても慌てず解答を進める。

答え

(1)

$x^3 + \frac{1}{x^3} = y^3 - 3y$

$x^4 + \frac{1}{x^4} = y^4 - 4y^2 + 2$

(2)

$\alpha = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$

$\alpha = \sqrt{3} \pm \sqrt{2}$

$\alpha = -\sqrt{3} \pm \sqrt{2}$