数学2 高次方程式 問題 34 解説

方針・初手

与えられた3次方程式の1つの解が $x = -1$ であるため、方程式に $x = -1$ を代入して成立することから定数 $a$ の値を求める。その後、$a$ の値を方程式に戻し、因数定理を用いて残りの解を求めるのが最も直接的な方針である。また、3次方程式の解と係数の関係を用いて解くことも可能である。

解法1

$x = -1$ が方程式 $x^3 - 4x^2 + ax + 6 = 0$ の解であるから、代入して成立する。

$$(-1)^3 - 4(-1)^2 + a(-1) + 6 = 0$$

これを計算すると、

$$-1 - 4 - a + 6 = 0$$

$$-a + 1 = 0$$

したがって、

$$a = 1$$

である。このとき、もとの方程式は

$$x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0$$

となる。この方程式は $x = -1$ を解に持つため、左辺は因数定理より $x + 1$ を因数に持つ。左辺を因数分解すると、

$$(x + 1)(x^2 - 5x + 6) = 0$$

さらに2次式の部分を因数分解して、

$$(x + 1)(x - 2)(x - 3) = 0$$

これより、方程式の解は

$$x = -1, 2, 3$$

となる。したがって、他の2つの解は $x = 2, 3$ である。

解法2

解と係数の関係を用いる。3次方程式 $x^3 - 4x^2 + ax + 6 = 0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とし、$\alpha = -1$ とする。

解と係数の関係より、以下の3つの式が成り立つ。

$$\alpha + \beta + \gamma = 4$$

$$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = a$$

$$\alpha\beta\gamma = -6$$

これらに $\alpha = -1$ を代入すると、

$$-1 + \beta + \gamma = 4$$

$$-\beta + \beta\gamma - \gamma = a$$

$$-\beta\gamma = -6$$

これらを整理すると、

$$\beta + \gamma = 5 \quad \cdots \text{①}$$

$$\beta\gamma - (\beta + \gamma) = a \quad \cdots \text{②}$$

$$\beta\gamma = 6 \quad \cdots \text{③}$$

となる。①と③より、$\beta$ と $\gamma$ は、和が $5$、積が $6$ となる2数であるから、2次方程式 $t^2 - 5t + 6 = 0$ の2つの解である。

これを解くと、

$$(t - 2)(t - 3) = 0$$

$$t = 2, 3$$

したがって、$\beta, \gamma$ は $2, 3$ であり、他の2つの解は $x = 2, 3$ である。

また、これを②に代入して $a$ の値を求めると、

$$a = 6 - 5 = 1$$

となる。

解説

高次方程式の1つの解が与えられた際に、未定係数を決定し、残りの解を求める典型問題である。

解法1の「解を代入して係数を決定し、因数定理を用いて方程式を解き直す」手順が最も標準的であり、計算の負担も少ない。解法2の「解と係数の関係」を用いるアプローチは、式の対称性を活かすことで因数分解の手間を省くことができるため、計算の別ルートとして身につけておくと有用である。

答え

$a = 1$

他の2つの解は $x = 2, 3$