数学2 高次方程式 問題 36 解説

方針・初手

3次方程式の解と係数の関係を利用するか、因数定理を用いて方程式の解を直接求めて計算する。

解法1

3次方程式の解と係数の関係を用いる。

方程式 $x^3 - 13x - 12 = 0$ は $x^3 + 0x^2 - 13x - 12 = 0$ とみることができる。 この方程式の解が $\alpha, \beta, \gamma$ であるから、解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta + \gamma = 0$$

$$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = -13$$

したがって、求める値の1つ目は、

$$\alpha + \beta + \gamma = 0$$

である。また、式の展開公式より、

$$(\alpha + \beta + \gamma)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$$

となるため、これを変形して値を代入すると、

$$\begin{aligned} \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 &= (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) \\ &= 0^2 - 2 \cdot (-13) \\ &= 26 \end{aligned}$$

となる。

解法2

因数定理を用いて、方程式の解を直接求める。

$P(x) = x^3 - 13x - 12$ とおく。 $P(-1) = (-1)^3 - 13 \cdot (-1) - 12 = -1 + 13 - 12 = 0$ となるため、$P(x)$ は $x+1$ を因数にもつ。 因数分解すると、

$$\begin{aligned} P(x) &= (x+1)(x^2 - x - 12) \\ &= (x+1)(x+3)(x-4) \end{aligned}$$

したがって、方程式 $(x+1)(x+3)(x-4) = 0$ の解は $x = -1, -3, 4$ である。 $\alpha, \beta, \gamma$ はこれらのいずれかであるから、どの順番であっても和および平方の和の値は変わらない。 よって、

$$\alpha + \beta + \gamma = -1 - 3 + 4 = 0$$

$$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (-1)^2 + (-3)^2 + 4^2 = 1 + 9 + 16 = 26$$

となる。

解説

3次方程式の解と係数の関係、および基本対称式を用いた式の値の計算は非常に重要である。$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ のような対称式は、基本対称式 $\alpha+\beta+\gamma$ と $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha$ を用いて表すことができる。 また、本問のように方程式の係数が整数であり、解を容易に推測できる場合には、解を直接求めて代入する解法も有効であり、検算としても役立つ。

答え

[②] $0$

[③] $26$