数学2 高次方程式 問題 38 解説

方針・初手

有理数 $a$ を、互いに素な整数を用いた既約分数として表し、方程式に代入する。その後、分母を払って整数の性質（倍数・約数、互いに素）を利用し、分母が $1$ であることを示すのが定石である。

解法1

有理数 $a$ は、互いに素な整数 $m, n$ （$m \geqq 1$）を用いて

$$a = \frac{n}{m}$$

と表すことができる。

$a$ は方程式 $f(x) = 0$ の解であるから、

$$\left(\frac{n}{m}\right)^2 + p\left(\frac{n}{m}\right) + q = 0$$

が成り立つ。

両辺に $m^2$ を掛けると、

$$n^2 + pmn + qm^2 = 0$$

となり、移項して $m$ でくくると、

$$n^2 = -m(pn + qm)$$

となる。

ここで、$p, q, m, n$ はすべて整数であるから、$- (pn + qm)$ も整数である。 よって、上式より $n^2$ は $m$ の倍数である。

一方、前提より $m$ と $n$ は互いに素であるから、$m$ と $n^2$ も互いに素である。 $n^2$ が $m$ の倍数であり、かつ $m$ と $n^2$ が互いに素であるためには、$m$ は $\pm 1$ の約数でなければならない。

最初に $m \geqq 1$ と設定しているため、$m = 1$ である。

したがって、

$$a = \frac{n}{1} = n$$

となり、$n$ は整数であるから、$a$ も整数であることが示された。

解説

最高次の係数が $1$ である整係数多項式（モニック多項式）の方程式において、有理数解が存在するならば、それは必ず整数解になるという有名な性質の証明問題である。

有理数を扱う証明問題においては、「互いに素な整数を用いた既約分数で表す」という初手が非常に有効である。代入して分母を払い、整数の剰余や互いに素の性質へと持ち込む流れは、整数問題の典型的な処理として確実に身につけておきたい。

答え

有理数 $a$ を既約分数で表して方程式に代入し、互いに素である性質を用いることで、$a$ の分母が $1$ になることを示し、題意を証明した。