数学2 高次方程式問題 39 解説

方針・初手

相反方程式に似た形をしているため、係数の対称性に着目して項をまとめる。$x^2$ と $\frac{4}{x^2}$、$-5x$ と $-\frac{10}{x}$ をそれぞれ組み合わせて、$x + \frac{2}{x}$ の塊を作るのが定石である。その後、指定された通りに $t = x + \frac{2}{x}$ とおいて $t$ の2次方程式に帰着させ、得られた $t$ の値から $x$ の実数解を求める。

解法1

与えられた方程式は

$$ x^2 - 5x + 8 - \frac{10}{x} + \frac{4}{x^2} = 0 $$

項を組み合わせるように変形すると

$$ \left(x^2 + \frac{4}{x^2}\right) - 5\left(x + \frac{2}{x}\right) + 8 = 0 $$

ここで、$t = x + \frac{2}{x}$ とおき、両辺を2乗すると

$$ t^2 = \left(x + \frac{2}{x}\right)^2 $$

$$ t^2 = x^2 + 4 + \frac{4}{x^2} $$

$$ x^2 + \frac{4}{x^2} = t^2 - 4 $$

となる。これを変形した方程式に代入すると

$$ (t^2 - 4) - 5t + 8 = 0 $$

$$ t^2 - 5t + 4 = 0 $$

したがって、$[ア] = 5, [イ] = 4$ である。

次に、この $t$ についての2次方程式を解くと

$$ (t - 1)(t - 4) = 0 $$

$$ t = 1, 4 $$

ここで、$t$ の値によって場合分けをして $x$ を求める。

(i) $t = 1$ のとき

$$ x + \frac{2}{x} = 1 $$

両辺に $x$（$x \neq 0$）を掛けて整理すると

$$ x^2 - x + 2 = 0 $$

この2次方程式の判別式を $D$ とすると

$$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -7 < 0 $$

判別式が負となるため、この方程式は実数解を持たない。

(ii) $t = 4$ のとき

$$ x + \frac{2}{x} = 4 $$

両辺に $x$（$x \neq 0$）を掛けて整理すると

$$ x^2 - 4x + 2 = 0 $$

この2次方程式を解の公式を用いて解くと

$$ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2} $$

これは実数であり、前提条件である $x \neq 0$ も満たす。したがって、$[ウ] = 2, [エ] = 2$ である。

解説

本問は、係数が対称に近い形をした方程式（広義の相反方程式）の標準的な解法を問う問題である。$x^k + \frac{a^k}{x^k}$ を含んだ方程式は、中心となる次数で全体を割るか、本問のようにあらかじめ割り算された形から $t = x + \frac{a}{x}$ とおくことで、次数を下げた方程式に帰着できる。

また、求めた $t$ の値から $x$ に戻す際、最終的に「実数解」のみが求められている点に注意が必要である。すべての $t$ の値に対して $x$ が実数解を持つとは限らないため、方程式の判別式等を用いて適切に吟味するプロセスが重要となる。