数学2 高次方程式問題 40 解説

方針・初手

3次方程式が自然数解をもつという条件から、その解の候補を絞り込む。
整数係数の方程式が有理数解（整数解）をもつ場合、その解は定数項の約数になることに着目する。
あるいは、自然数解を $k$ とおいて方程式に代入し、$n$ が自然数となる条件から $k$ の値を絞り込む方針を取ってもよい。

解法1

与えられた3次方程式 $x^3 + nx^2 + (n-6)x - 2 = 0$ は、最高次の係数が $1$ であり、その他の係数もすべて整数である。したがって、この方程式が整数解をもつならば、それは定数項 $-2$ の約数に限られる。自然数の解をもつという条件より、その解の候補は $x = 1, 2$ のみである。

(i) $x = 1$ を解にもつとき

方程式に $x = 1$ を代入すると、

$$1^3 + n \cdot 1^2 + (n-6) \cdot 1 - 2 = 0$$

$$2n - 7 = 0$$

$$n = \frac{7}{2}$$

$n$ は自然数であるという条件に反するため、不適である。

(ii) $x = 2$ を解にもつとき

方程式に $x = 2$ を代入すると、

$$2^3 + n \cdot 2^2 + (n-6) \cdot 2 - 2 = 0$$

$$8 + 4n + 2n - 12 - 2 = 0$$

$$6n - 6 = 0$$

$$n = 1$$

これは $n$ が自然数であるという条件を満たす。このとき、もとの方程式は

$$x^3 + x^2 - 5x - 2 = 0$$

となる。$x=2$ を解にもつことから左辺は $x-2$ を因数にもつため、因数分解すると、

$$(x-2)(x^2 + 3x + 1) = 0$$

よって、他の2解は2次方程式 $x^2 + 3x + 1 = 0$ の解である。解の公式を用いてこれを解くと、

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$$

以上より、自然数の解は $2$、他の2解は $\frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$ である。

解法2

自然数解を $k$ とおく。 $x=k$ が方程式の解であるから、

$$k^3 + nk^2 + (n-6)k - 2 = 0$$

が成り立つ。これを $n$ について整理すると、

$$n(k^2 + k) = -k^3 + 6k + 2$$

となる。$k$ は自然数より $k^2 + k > 0$ であるから、両辺を $k^2 + k$ で割ると、

$$n = \frac{-k^3 + 6k + 2}{k^2 + k}$$

$n$ は自然数（すなわち $n \geqq 1$）であるから、分子は正でなければならない。

$$-k^3 + 6k + 2 > 0$$

$$k(k^2 - 6) < 2$$

$k$ は自然数であるから、$k \geqq 3$ のとき $k^2 - 6 \geqq 3$ となり、$k(k^2 - 6) \geqq 9 > 2$ となるため不適である。よって、自然数 $k$ の候補は $k = 1, 2$ に限られる。

(i) $k = 1$ のとき

$$n = \frac{-1 + 6 + 2}{1 + 1} = \frac{7}{2}$$

これは自然数ではないため不適である。

(ii) $k = 2$ のとき

$$n = \frac{-8 + 12 + 2}{4 + 2} = \frac{6}{6} = 1$$

これは自然数であり、適する。よって、自然数解は $x = 2$ であり、このとき $n = 1$ となる。 $n=1$ のとき、方程式は $x^3 + x^2 - 5x - 2 = 0$ となり、

$$(x-2)(x^2 + 3x + 1) = 0$$

他の2解は $x^2 + 3x + 1 = 0$ を解いて、

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$$

解説

方程式の係数がすべて整数であり、最高次の係数が $1$ である場合、整数解は定数項の約数になるという性質は強力な武器である。この性質に気づけば、解法1のように素早く解の候補を絞り込むことができる。解法2のように、求める条件をもつ文字（ここでは $n$ ）について式を整理し、自然数という条件から不等式を作って範囲を絞り込む手法も、整数問題や方程式の解の性質を調べる際の定石である。