数学2 高次方程式 問題 41 解説

方針・初手

与えられた方程式の2つの解が $x=1, 2$ であることを利用し、直接代入して $a, b$ についての連立方程式を導くのが最も自然である。係数 $a, b$ が求まれば、方程式の左辺を因数定理を用いて $(x-1)(x-2)$ で割り、残りの2次方程式を解くことで他の解が求まる。また、4次方程式の解と係数の関係を利用するアプローチも可能である。

解法1

$P(x) = x^4 + ax^3 + (a+3)x^2 + 16x + b$ とおく。 方程式 $P(x) = 0$ は $x = 1$ および $x = 2$ を解にもつため、因数定理より $P(1) = 0$ かつ $P(2) = 0$ が成り立つ。

$P(1) = 0$ より、

$$1^4 + a\cdot 1^3 + (a+3)\cdot 1^2 + 16\cdot 1 + b = 0$$

$$2a + b + 20 = 0$$

$P(2) = 0$ より、

$$2^4 + a\cdot 2^3 + (a+3)\cdot 2^2 + 16\cdot 2 + b = 0$$

$$16 + 8a + 4a + 12 + 32 + b = 0$$

$$12a + b + 60 = 0$$

これら2つの式からなる連立方程式を解く。 2番目の式から1番目の式を引くと、

$$10a + 40 = 0$$

$$a = -4$$

これを $2a + b + 20 = 0$ に代入して、

$$2(-4) + b + 20 = 0$$

$$b = -12$$

よって、$a = -4, b = -12$ である。 これを元の4次方程式に代入すると、

$$x^4 - 4x^3 - x^2 + 16x - 12 = 0$$

この方程式の左辺は $(x-1)(x-2)$、すなわち $x^2 - 3x + 2$ を因数にもつ。 左辺を $x^2 - 3x + 2$ で割ると、商は $x^2 - x - 6$ となるため、次のように因数分解できる。

$$(x^2 - 3x + 2)(x^2 - x - 6) = 0$$

$$(x-1)(x-2)(x-3)(x+2) = 0$$

したがって、方程式の解は $x = 1, 2, 3, -2$ であり、残りの解は $3$ と $-2$ である。

解法2

4次方程式の解と係数の関係を利用する。 残りの2つの解を $\alpha, \beta$ とおく。4つの解は $1, 2, \alpha, \beta$ であるから、解と係数の関係により以下の等式が成り立つ。

$$\begin{cases} 1 + 2 + \alpha + \beta = -a \\ 1\cdot 2 + (1+2)(\alpha+\beta) + \alpha\beta = a+3 \\ 1\cdot 2\cdot (\alpha+\beta) + (1+2)\alpha\beta = -16 \\ 1\cdot 2\cdot \alpha\beta = b \end{cases}$$

第1式より、

$$\alpha + \beta = -a - 3$$

第3式より、

$$2(\alpha + \beta) + 3\alpha\beta = -16$$

第1式から得た $\alpha + \beta$ の式を第2式に代入すると、

$$2 + 3(-a-3) + \alpha\beta = a+3$$

$$\alpha\beta = 4a + 10$$

$\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ を第3式に代入すると、

$$2(-a-3) + 3(4a+10) = -16$$

$$10a + 24 = -16$$

$$10a = -40$$

$$a = -4$$

$a = -4$ を代入して $\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ を求めると、

$$\alpha + \beta = -(-4) - 3 = 1$$

$$\alpha\beta = 4(-4) + 10 = -6$$

第4式より、

$$b = 2\alpha\beta = 2(-6) = -12$$

また、$\alpha, \beta$ は2次方程式 $t^2 - (\alpha+\beta)t + \alpha\beta = 0$ の解であるから、

$$t^2 - t - 6 = 0$$

$$(t-3)(t+2) = 0$$

これを解いて $t = 3, -2$。 よって、残りの解は $3$ と $-2$ である。

解説

高次方程式に解が与えられている場合の典型問題である。与えられた解を直接方程式に代入して未定係数を決定する方針が最も確実で計算量も少ない。

係数が決定したあとの高次方程式を解く際、左辺が $(x-1)$ や $(x-2)$ で割り切れることは保証されているため、組み立て除法を繰り返し用いるか、2次式 $(x-1)(x-2) = x^2-3x+2$ で直接割り算を行うとスムーズに因数分解できる。

解法2に示した「解と係数の関係」を用いる方法は、文字式が多くなるものの、対称式の扱い方に慣れていれば見通しよく解くことができる。

答え

$a = -4$

$b = -12$

残りの解は $3, -2$