数学2 高次方程式問題 44 解説

方針・初手

基本対称式 $a+b+c, ab+bc+ca, abc$ の値が与えられていることから、対称式の性質や解と係数の関係を用いる。(1) は対称式の変形公式を直接用いて値を求める。(2) は解と係数の関係、あるいは因数定理を用いて3次方程式を復元する。(3) は (2) で求めた方程式を利用して次数を下げるか、対称式のまま式変形を行って求める。

解法1

(1) 対称式の公式を用いて $a^2+b^2+c^2$ の値を求める。

$$\begin{aligned} a^2+b^2+c^2 &= (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca) \\ &= 2^2 - 2 \cdot 3 \\ &= 4 - 6 \\ &= -2 \end{aligned}$$

また、$a^3+b^3+c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca)$ より、

$$\begin{aligned} a^3+b^3+c^3 &= 3abc + (a+b+c)\{a^2+b^2+c^2 - (ab+bc+ca)\} \\ &= 3 \cdot 2 + 2 \cdot (-2 - 3) \\ &= 6 + 2 \cdot (-5) \\ &= -4 \end{aligned}$$

(2) $x=a, b, c$ を解にもつ3次方程式の1つは、

$$(x-a)(x-b)(x-c) = 0$$

と表せる。左辺を展開すると、

$$x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+bc+ca)x - abc = 0$$

となる。条件より $a+b+c=2$、$ab+bc+ca=3$、$abc=2$ であるから、方程式は、

$$x^3 - 2x^2 + 3x - 2 = 0$$

となる。これが $x^3+Ax^2+Bx+C=0$ と一致するため、各項の係数を比較して、

$$A = -2, \quad B = 3, \quad C = -2$$

(3) (2) の結果より、$a, b, c$ は方程式 $x^3 - 2x^2 + 3x - 2 = 0$ の解であるから、$x^3 = 2x^2 - 3x + 2$ が成り立つ。この関係を用いて次数を下げる。 $x^4$ について、

$$\begin{aligned} x^4 &= x \cdot x^3 \\ &= x(2x^2 - 3x + 2) \\ &= 2x^3 - 3x^2 + 2x \\ &= 2(2x^2 - 3x + 2) - 3x^2 + 2x \\ &= x^2 - 4x + 4 \end{aligned}$$

さらに $x^5$ について、

$$\begin{aligned} x^5 &= x \cdot x^4 \\ &= x(x^2 - 4x + 4) \\ &= x^3 - 4x^2 + 4x \\ &= (2x^2 - 3x + 2) - 4x^2 + 4x \\ &= -2x^2 + x + 2 \end{aligned}$$

$a, b, c$ はいずれもこの関係式を満たすため、$a^5+b^5+c^5$ は次のように求められる。

$$\begin{aligned} a^5+b^5+c^5 &= (-2a^2+a+2) + (-2b^2+b+2) + (-2c^2+c+2) \\ &= -2(a^2+b^2+c^2) + (a+b+c) + 6 \\ &= -2 \cdot (-2) + 2 + 6 \\ &= 12 \end{aligned}$$

解法2

(3) の別解として、対称式のまま次数を上げていく方針をとる。$(a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3)$ を展開すると、

$$(a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3) = a^5+b^5+c^5 + a^2b^2(a+b) + b^2c^2(b+c) + c^2a^2(c+a)$$

となる。ここで、$a+b+c=2$ より $a+b=2-c, b+c=2-a, c+a=2-b$ であるから、後半の項は以下のように変形できる。

$$\begin{aligned} &a^2b^2(2-c) + b^2c^2(2-a) + c^2a^2(2-b) \\ &= 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) - (a^2b^2c + b^2c^2a + c^2a^2b) \\ &= 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) - abc(ab+bc+ca) \end{aligned}$$

$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$ の値は次のように求める。

$$\begin{aligned} a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 &= (ab+bc+ca)^2 - 2(ab \cdot bc + bc \cdot ca + ca \cdot ab) \\ &= (ab+bc+ca)^2 - 2abc(b+c+a) \\ &= 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \\ &= 9 - 8 \\ &= 1 \end{aligned}$$

これと $abc=2, ab+bc+ca=3$ を代入すると、

$$2 \cdot 1 - 2 \cdot 3 = 2 - 6 = -4$$

となる。(1) より $a^2+b^2+c^2=-2, a^3+b^3+c^3=-4$ であるから、これらを最初の展開式に代入して、

$$(-2) \cdot (-4) = a^5+b^5+c^5 - 4$$

$$8 = a^5+b^5+c^5 - 4$$

$$a^5+b^5+c^5 = 12$$

解説

対称式の基本定理より、すべての対称式は基本対称式を用いて表すことができる。本問はその定石を確認するものである。(3) のような高次対称式の値の求め方として、方程式の解であることを利用した「次数下げ」（解法1）と、低次の対称式の積から不要な項を引いていく手法（解法2）の2つのアプローチが重要である。次数下げは機械的に計算を進めやすい点で実戦的である。