数学2 高次方程式問題 47 解説

方針・初手

与えられた連立方程式の第1式を展開・整理することで、基本対称式 $xy+yz+zx$ の値を求める。続いて、公式 $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$ を利用して $x+y+z$ の値を求める。最後に、$x, y, z$ を解にもつ $t$ の3次方程式を作成し、それを解くことで $x, y, z$ の値を決定する。

解法1

連立方程式の第1式

$$(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 = 26$$

の左辺を展開して整理すると、

$$\begin{aligned} (x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2yz + z^2) + (z^2 - 2zx + x^2) &= 26 \\ 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2zx &= 26 \\ -2(xy+yz+zx) + 2(x^2+y^2+z^2) &= 26 \end{aligned}$$

となる。したがって、①は $-2$、②は $2$ である。

この式に連立方程式の第2式 $x^2+y^2+z^2 = 42$ を代入すると、

$$\begin{aligned} -2(xy+yz+zx) + 2 \times 42 &= 26 \\ -2(xy+yz+zx) + 84 &= 26 \\ -2(xy+yz+zx) &= -58 \\ xy+yz+zx &= 29 \end{aligned}$$

となる。したがって、③は $29$ である。

次に、公式により

$$(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx)$$

であるから、④は $2$ である。

上で求めた値をこの公式に代入すると、

$$\begin{aligned} (x+y+z)^2 &= 42 + 2 \times 29 \\ &= 42 + 58 \\ &= 100 \end{aligned}$$

となる。ここで、条件 $x>0, y>0, z>0$ より $x+y+z > 0$ であるから、

$$x+y+z = 10$$

となる。したがって、⑤は $10$ である。

さらに、$t$ に関する3次式 $(t-x)(t-y)(t-z)$ を展開すると、

$$(t-x)(t-y)(t-z) = t^3 - (x+y+z)t^2 + (xy+yz+zx)t - xyz$$

となる。ここに、求めた $x+y+z=10$、$xy+yz+zx=29$ と、問題で与えられた $xyz=20$ を代入すると、

$$(t-x)(t-y)(t-z) = t^3 - 10t^2 + 29t - 20$$

となる。したがって、⑥は $t^3 - 10t^2 + 29t - 20$ である。

最後に、$x, y, z$ は方程式 $t^3 - 10t^2 + 29t - 20 = 0$ の3つの解である。この方程式の左辺を因数分解するために $t=1$ を代入すると、$1 - 10 + 29 - 20 = 0$ となり成り立つので、左辺は $t-1$ を因数にもつ。

$$\begin{aligned} t^3 - 10t^2 + 29t - 20 &= 0 \\ (t-1)(t^2 - 9t + 20) &= 0 \\ (t-1)(t-4)(t-5) &= 0 \end{aligned}$$

よって、$t = 1, 4, 5$ である。これが $x, y, z$ の値であり、条件 $x < y < z$ を満たすので、

$$(x, y, z) = (1, 4, 5)$$

となる。したがって、⑦は $(1, 4, 5)$ である。

解説

対称式に関する典型的な問題である。3つの変数 $x, y, z$ についての基本対称式 $x+y+z, xy+yz+zx, xyz$ の値を求めることができれば、$x, y, z$ はこれらを係数にもつ3次方程式の解として求められるという、解と係数の関係の逆を利用する考え方が重要である。誘導に沿って一つずつ値を決定していけば、無理なく解にたどり着けるようになっている。