数学2 高次方程式問題 48 解説

方針・初手

無理数を含む式から有理数係数（特に整数係数）の多項式を作るため、根号を一つずつ分離して両辺を2乗する操作を繰り返す。 (2)では、各項の符号を文字でおいて同様の計算を行い、得られた多項式を(1)の結果と比較する。 (3)では、計算を分かりやすくするために各根号の部分を文字に置き換え、2つの解の差をとることで大小関係を決定する。

解法1

(1)

$\alpha = \sqrt{13} + \sqrt{9+2\sqrt{17}} + \sqrt{9-2\sqrt{17}}$ について、右辺の第2項と第3項の和をまとめるために、まず $\alpha - \sqrt{13}$ を考える。

$$\alpha - \sqrt{13} = \sqrt{9+2\sqrt{17}} + \sqrt{9-2\sqrt{17}}$$

両辺を2乗すると、

$$(\alpha - \sqrt{13})^2 = (\sqrt{9+2\sqrt{17}} + \sqrt{9-2\sqrt{17}})^2$$

$$\alpha^2 - 2\sqrt{13}\alpha + 13 = (9+2\sqrt{17}) + 2\sqrt{(9+2\sqrt{17})(9-2\sqrt{17})} + (9-2\sqrt{17})$$

右辺の根号の中は和と差の積になっているため、計算すると以下のようになる。

$$\begin{aligned} \alpha^2 - 2\sqrt{13}\alpha + 13 &= 18 + 2\sqrt{81 - 4 \times 17} \\ &= 18 + 2\sqrt{81 - 68} \\ &= 18 + 2\sqrt{13} \end{aligned}$$

有理数部分と $\sqrt{13}$ を含む部分に整理する。

$$\alpha^2 - 5 = 2\sqrt{13}(\alpha + 1)$$

再び両辺を2乗して $\sqrt{13}$ を消去する。

$$(\alpha^2 - 5)^2 = 52(\alpha + 1)^2$$

$$\alpha^4 - 10\alpha^2 + 25 = 52(\alpha^2 + 2\alpha + 1)$$

$$\alpha^4 - 62\alpha^2 - 104\alpha - 27 = 0$$

したがって、求める $x^4$ の係数が $1$ の整数係数多項式 $f(x)$ は以下となる。

$$f(x) = x^4 - 62x^2 - 104x - 27$$

(2)

与えられた8つの実数を $x$ とする。$\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3$ をそれぞれ $1$ または $-1$ をとる変数として、$x$ を次のように表す。

$$x = \epsilon_1\sqrt{13} + \epsilon_2\sqrt{9+2\sqrt{17}} + \epsilon_3\sqrt{9-2\sqrt{17}}$$

(1)と同様の変形を行う。

$$x - \epsilon_1\sqrt{13} = \epsilon_2\sqrt{9+2\sqrt{17}} + \epsilon_3\sqrt{9-2\sqrt{17}}$$

両辺を2乗する。$\epsilon_1^2 = \epsilon_2^2 = \epsilon_3^2 = 1$ であることに注意する。

$$x^2 - 2\epsilon_1\sqrt{13}x + 13 = 18 + 2\epsilon_2\epsilon_3\sqrt{13}$$

$$x^2 - 5 = 2\sqrt{13}(\epsilon_1 x + \epsilon_2\epsilon_3)$$

再び両辺を2乗する。

$$(x^2 - 5)^2 = 52(\epsilon_1 x + \epsilon_2\epsilon_3)^2$$

$$x^4 - 10x^2 + 25 = 52(x^2 + 2\epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3 x + 1)$$

$$x^4 - 62x^2 - 104\epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3 x - 27 = 0$$

この方程式が (1) で求めた $f(x) = 0$、すなわち $x^4 - 62x^2 - 104x - 27 = 0$ と一致するための条件は、

$$-104\epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3 = -104$$

$$\epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3 = 1$$

である。

$\epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3 = 1$ を満たす $(\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3)$ の組は、 $(1, 1, 1), (1, -1, -1), (-1, 1, -1), (-1, -1, 1)$ の4組である。

一方、$\epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3 = -1$ のとき、$x$ は $x^4 - 62x^2 + 104x - 27 = 0$ の解となる。もしこれが $f(x)=0$ の解でもあると仮定すると、差をとって $208x = 0$ より $x=0$ となるが、$f(0) = -27 \neq 0$ であるため矛盾する。したがって、$\epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3 = -1$ となる4つの実数は $f(x)=0$ の解ではない。

以上より、解となるものは以下の4つである。

$$\begin{aligned} &\sqrt{13} + \sqrt{9+2\sqrt{17}} + \sqrt{9-2\sqrt{17}} \\ &\sqrt{13} - \sqrt{9+2\sqrt{17}} - \sqrt{9-2\sqrt{17}} \\ -&\sqrt{13} + \sqrt{9+2\sqrt{17}} - \sqrt{9-2\sqrt{17}} \\ -&\sqrt{13} - \sqrt{9+2\sqrt{17}} + \sqrt{9-2\sqrt{17}} \end{aligned}$$

(3)

便宜上、$p = \sqrt{13}, q = \sqrt{9+2\sqrt{17}}, r = \sqrt{9-2\sqrt{17}}$ とおく。明らかに $p, q, r$ は正の実数である。これらを用いて、(2)で求めた4つの解を次のように表す。

$$\begin{aligned} x_1 &= p + q + r \\ x_2 &= -p + q - r \\ x_3 &= p - q - r \\ x_4 &= -p - q + r \end{aligned}$$

まず、$p, q, r$ の大小関係を調べるために平方の差をとる。

$$\begin{aligned} q^2 - p^2 &= (9+2\sqrt{17}) - 13 \\ &= 2\sqrt{17} - 4 \\ &= \sqrt{68} - \sqrt{16} > 0 \end{aligned}$$

よって、$q > p$ である。

$$\begin{aligned} p^2 - r^2 &= 13 - (9-2\sqrt{17}) \\ &= 4 + 2\sqrt{17} > 0 \end{aligned}$$

よって、$p > r$ である。

以上より、$q > p > r > 0$ が成り立つ。これを用いて、解の差を計算し大小を比較する。

$$x_1 - x_2 = (p+q+r) - (-p+q-r) = 2p + 2r > 0$$

よって、$x_1 > x_2$。

$$x_2 - x_3 = (-p+q-r) - (p-q-r) = -2p + 2q = 2(q-p) > 0$$

よって、$x_2 > x_3$。

$$x_3 - x_4 = (p-q-r) - (-p-q+r) = 2p - 2r = 2(p-r) > 0$$

よって、$x_3 > x_4$。

以上より、$x_1 > x_2 > x_3 > x_4$ となるので、これをもとの式に戻して大きい順に並べる。

解説

根号の和で表された数が解となる多項式を構成する、代数的数の共役に関連する問題である。(1)で根号を消去する計算手順が、(2)での他の解を見つけるための完全な誘導となっている。 (3)は一見すると複雑な値の大小比較だが、各項を文字に置き換えて差をとることで、容易に比較できる形に持ち込めるのが重要な発想である。

答え

(1)

$$f(x) = x^4 - 62x^2 - 104x - 27$$

(2)

解となるものは以下の4つ。

（これら以外が解でないことの証明は解法に記載）

(3)

大きい順に、

$$\begin{aligned} &\sqrt{13} + \sqrt{9+2\sqrt{17}} + \sqrt{9-2\sqrt{17}}, \\ -&\sqrt{13} + \sqrt{9+2\sqrt{17}} - \sqrt{9-2\sqrt{17}}, \\ &\sqrt{13} - \sqrt{9+2\sqrt{17}} - \sqrt{9-2\sqrt{17}}, \\ -&\sqrt{13} - \sqrt{9+2\sqrt{17}} + \sqrt{9-2\sqrt{17}} \end{aligned}$$