数学2 高次方程式問題 55 解説

方針・初手

$3$ 次関数の増減と極値を調べ、グラフの概形から方程式の実数解の個数や存在範囲を特定する。 (1) は導関数 $f'(x)$ を計算し、増減表（または符号変化）から極値を求める。 (2) は $3$ 次方程式が相異なる $3$ つの実数解をもつ条件である「(極大値) $\times$ (極小値) $< 0$」を利用する。 (3) は解の存在区間を絞り込むため、境界となる $x = \pm 2p$ における $f(x)$ の値の符号を調べる。 (4) は与えられた解を方程式に代入し、三角関数の $3$ 倍角の公式を利用して関係式を導いた後、他の $2$ つの値も方程式を満たすことを示す。

解法1

(1) $f(x) = x^3 - 3p^2x + q$ を $x$ について微分すると、

$$f'(x) = 3x^2 - 3p^2 = 3(x - p)(x + p)$$

となる。 $p > 0$ であるから、$f'(x) = 0$ となるのは $x = -p, p$ のときである。 $f'(x)$ の符号は $x = -p$ の前後で正から負へ、$x = p$ の前後で負から正へ変化する。したがって、$f(x)$ は $x = -p$ で極大、 $x = p$ で極小となる。

極大値は、

$$f(-p) = (-p)^3 - 3p^2(-p) + q = 2p^3 + q$$

極小値は、

$$f(p) = p^3 - 3p^2(p) + q = -2p^3 + q$$

である。

(2) $3$ 次方程式 $f(x) = 0$ が相異なる $3$ つの実数解をもつための必要十分条件は、関数 $f(x)$ が極値をもち、かつ極大値と極小値の符号が異なること、すなわち $f(-p)f(p) < 0$ となることである。

問題の条件 $-2p^3 < q < 2p^3$ より、

$$q + 2p^3 > 0$$

かつ

$$q - 2p^3 < 0$$

が成り立つ。これらはそれぞれ $f(-p) > 0$ および $f(p) < 0$ を意味する。よって $f(-p)f(p) < 0$ が成り立つため、方程式 $f(x) = 0$ は相異なる $3$ つの実数解をもつ。

(3) 関数 $f(x)$ は区間 $(-\infty, -p)$ で単調増加、区間 $(-p, p)$ で単調減少、区間 $(p, \infty)$ で単調増加する。 (2) の結果から $f(-p) > 0$ かつ $f(p) < 0$ であるため、相異なる $3$ つの実数解は、区間 $(-\infty, -p)$、$(-p, p)$、$(p, \infty)$ にそれぞれ $1$ つずつ存在する。

ここで、$x = -2p$ および $x = 2p$ における $f(x)$ の値を調べる。

$$f(-2p) = (-2p)^3 - 3p^2(-2p) + q = -8p^3 + 6p^3 + q = -2p^3 + q$$

$$f(2p) = (2p)^3 - 3p^2(2p) + q = 8p^3 - 6p^3 + q = 2p^3 + q$$

問題の条件 $-2p^3 < q < 2p^3$ より、

$$f(-2p) = q - 2p^3 < 0$$

$$f(2p) = q + 2p^3 > 0$$

であることがわかる。区間 $(-\infty, -p)$ にある解については、$f(-2p) < 0$ かつ $f(-p) > 0$ であるから、中間値の定理より区間 $(-2p, -p)$ に存在する。区間 $(p, \infty)$ にある解については、$f(p) < 0$ かつ $f(2p) > 0$ であるから、中間値の定理より区間 $(p, 2p)$ に存在する。区間 $(-p, p)$ にある解については、明らかに $-2p < x < 2p$ を満たす。以上より、$3$ つの解はすべて $-2p < x < 2p$ を満たすことが示された。

(4) $x = 2p\cos\theta$ が $f(x) = 0$ の解であるから、$f(2p\cos\theta) = 0$ が成り立つ。代入して整理すると、

$$(2p\cos\theta)^3 - 3p^2(2p\cos\theta) + q = 0$$

$$8p^3\cos^3\theta - 6p^3\cos\theta + q = 0$$

$$2p^3(4\cos^3\theta - 3\cos\theta) + q = 0$$

ここで、$3$ 倍角の公式 $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ を用いると、上の式は次のように書き換えられる。

$$2p^3\cos 3\theta + q = 0$$

次に、$x = 2p \cos\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right)$ を $f(x)$ に代入する。

$$f\left(2p \cos\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right)\right) = 8p^3 \cos^3\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right) - 6p^3 \cos\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right) + q$$

$$= 2p^3 \left\{ 4\cos^3\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right) - 3\cos\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right) \right\} + q$$

再び $3$ 倍角の公式を用いると、

$$= 2p^3 \cos\left\{ 3\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right) \right\} + q$$

$$= 2p^3 \cos(3\theta + 2\pi) + q$$

$\cos(3\theta + 2\pi) = \cos 3\theta$ であるから、

$$= 2p^3 \cos 3\theta + q$$

となり、先ほど得た関係式 $2p^3\cos 3\theta + q = 0$ より、

$$f\left(2p \cos\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right)\right) = 0$$

が成り立つ。よって $2p \cos\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right)$ は解である。

同様に、$x = 2p \cos\left(\theta + \frac{4\pi}{3}\right)$ を $f(x)$ に代入する。

$$f\left(2p \cos\left(\theta + \frac{4\pi}{3}\right)\right) = 2p^3 \left\{ 4\cos^3\left(\theta + \frac{4\pi}{3}\right) - 3\cos\left(\theta + \frac{4\pi}{3}\right) \right\} + q$$

$$= 2p^3 \cos\left\{ 3\left(\theta + \frac{4\pi}{3}\right) \right\} + q$$

$$= 2p^3 \cos(3\theta + 4\pi) + q$$

$\cos(3\theta + 4\pi) = \cos 3\theta$ であるから、

$$= 2p^3 \cos 3\theta + q = 0$$

となり、$2p \cos\left(\theta + \frac{4\pi}{3}\right)$ も解であることが示された。

解説

$3$ 次方程式の実数解の個数や存在範囲を調べるための標準的な微分の問題である。グラフの概形を捉えるために極値を利用し、解の存在範囲を絞り込むために中間値の定理を活用する。 (4) は「$3$ 次方程式の三角関数を用いた解法（チェビシェフ多項式にも関連する）」を背景とした誘導問題である。直接代入して $0$ になることを示すアプローチが最も簡潔であり、$3$ 倍角の公式 $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ の形を式の中に自ら作り出すことができるかが鍵となる。