数学2 高次方程式 問題 56 解説

方針・初手

(1) 与えられた複素数を方程式に直接代入し、複素数の相等条件を用いるか、実数係数方程式の性質から共役複素数も解となることを用いて解と係数の関係から求める。

(2) $x=1$ を代入して $a$ と $b$ の関係式を導き、元の3次方程式を因数分解する。その後、得られた2次方程式が「$1$を解にもつ場合」と「$1$以外の重解をもつ場合」に分けて条件を吟味する。

(3) 3次方程式が異なる3つの実数解をもつ条件として、対応する3次関数が極大値と極小値をもち、それらの積が負になるという性質を用いる。

解法1

(1)

$x = 1+\sqrt{2}i$ を方程式 ① に代入する。

$$(1+\sqrt{2}i)^3 + a(1+\sqrt{2}i)^2 + b = 0$$

ここで、$(1+\sqrt{2}i)^2$ および $(1+\sqrt{2}i)^3$ を計算する。

$$(1+\sqrt{2}i)^2 = 1 + 2\sqrt{2}i + (\sqrt{2}i)^2 = 1 + 2\sqrt{2}i - 2 = -1 + 2\sqrt{2}i$$

$$(1+\sqrt{2}i)^3 = (1+\sqrt{2}i)(-1+2\sqrt{2}i) = -1 + 2\sqrt{2}i - \sqrt{2}i + 2(\sqrt{2}i)^2 = -5 + \sqrt{2}i$$

これらを代入して整理する。

$$(-5+\sqrt{2}i) + a(-1+2\sqrt{2}i) + b = 0$$

$$(b - a - 5) + (2a + 1)\sqrt{2}i = 0$$

$a, b$ は実数であるから、$b - a - 5$、$2a + 1$ も実数である。複素数の相等条件より、実部と虚部がそれぞれ $0$ になる。

$$\begin{cases} b - a - 5 = 0 \\ 2a + 1 = 0 \end{cases}$$

これを解いて、

$$a = -\frac{1}{2}, \quad b = \frac{9}{2}$$

(2)

方程式 ① が $x=1$ を解にもつので、代入して成り立つ。

$$1^3 + a\cdot 1^2 + b = 0$$

$$b = -a - 1$$

これを ① に代入して因数分解する。

$$x^3 + ax^2 - a - 1 = 0$$

$$(x^3 - 1) + a(x^2 - 1) = 0$$

$$(x - 1)(x^2 + x + 1) + a(x - 1)(x + 1) = 0$$

$$(x - 1) \{ (x^2 + x + 1) + a(x + 1) \} = 0$$

$$(x - 1) \{ x^2 + (a+1)x + a+1 \} = 0$$

方程式が2重解をもつのは、2次方程式 $x^2 + (a+1)x + a+1 = 0$ （これを ② とおく）が以下のいずれかの条件を満たすときである。

(i) ②が $x=1$ と、$1$ 以外の実数解をもつ場合 ②に $x=1$ を代入すると、

$$1^2 + (a+1)\cdot 1 + a+1 = 0$$

$$2a + 3 = 0$$

$$a = -\frac{3}{2}$$

このとき、②は $x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = 0$ となり、$2x^2 - x - 1 = 0$ より $(2x+1)(x-1) = 0$ であるから、もう一つの解は $x = -\frac{1}{2}$ となる。これは $x \neq 1$ を満たすので適する。 このとき、$b = -\left(-\frac{3}{2}\right) - 1 = \frac{1}{2}$ である。

(ii) ②が $1$ 以外の重解をもつ場合 ②の判別式を $D$ とすると、$D = 0$ であればよい。

$$D = (a+1)^2 - 4(a+1) = (a+1)(a-3) = 0$$

これより、$a = -1, 3$ となる。 $a = -1$ のとき、②は $x^2 = 0$ となり、重解 $x=0$ をもつ。これは $x \neq 1$ を満たすので適する。このとき $b = -(-1) - 1 = 0$ である。 $a = 3$ のとき、②は $x^2 + 4x + 4 = 0$ となり、重解 $x=-2$ をもつ。これは $x \neq 1$ を満たすので適する。このとき $b = -(3) - 1 = -4$ である。

以上より、求める組は $(a, b) = \left( -\frac{3}{2}, \frac{1}{2} \right), (-1, 0), (3, -4)$ である。

(3)

$f(x) = x^3 + ax^2 + b$ とおく。 方程式 $f(x) = 0$ が異なる3つの実数解をもつための条件は、3次関数 $y = f(x)$ が極大値と極小値をもち、それらの符号が異なることである。すなわち、以下の条件を満たすことである。

$$\text{（極大値）} \times \text{（極小値）} < 0$$

$f(x)$ を微分すると、

$$f'(x) = 3x^2 + 2ax = x(3x + 2a)$$

極値をもつためには $f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解をもつ必要があり、

$$a \neq 0$$

このとき、$f(x)$ は $x = 0$ と $x = -\frac{2}{3}a$ で極値をもつ。極値の積が負となればよいので、

$$f(0) f\left(-\frac{2}{3}a\right) < 0$$

$$b \left\{ \left(-\frac{2}{3}a\right)^3 + a\left(-\frac{2}{3}a\right)^2 + b \right\} < 0$$

$$b \left( -\frac{8}{27}a^3 + \frac{4}{9}a^3 + b \right) < 0$$

$$b \left( b + \frac{4}{27}a^3 \right) < 0$$

なお、$a=0$ のとき、この不等式は $b^2 < 0$ となり満たす実数 $b$ が存在しないため、$a \neq 0$ の条件はこの不等式に含まれている。

これを満たす点 $(a, b)$ の範囲を図示すると、直線 $b = 0$ （$a$軸）と曲線 $b = -\frac{4}{27}a^3$ を境界線とし、それらによって分けられる領域のうち、以下のいずれかを満たす部分となる。

$$\begin{cases} b > 0 \\ b < -\frac{4}{27}a^3 \end{cases} \quad \text{または} \quad \begin{cases} b < 0 \\ b > -\frac{4}{27}a^3 \end{cases}$$

これは座標平面上において、第2象限および第4象限に存在する、直線 $b=0$ と曲線 $b=-\frac{4}{27}a^3$ に挟まれた領域である。境界線はすべて含まない。

解法2

(1)の別解

方程式 ① の係数 $1, a, 0, b$ はすべて実数であるから、複素数 $1+\sqrt{2}i$ が解であれば、その共役複素数 $1-\sqrt{2}i$ も解である。 方程式 ① のもう一つの解を実数 $\alpha$ とおく。 3次方程式の解と係数の関係より、以下の3つの式が成り立つ。

$$(1+\sqrt{2}i) + (1-\sqrt{2}i) + \alpha = -a$$

$$(1+\sqrt{2}i)(1-\sqrt{2}i) + (1+\sqrt{2}i)\alpha + (1-\sqrt{2}i)\alpha = 0$$

$$(1+\sqrt{2}i)(1-\sqrt{2}i)\alpha = -b$$

第1式より、

$$2 + \alpha = -a$$

第2式より、

$$3 + 2\alpha = 0$$

これを解いて $\alpha = -\frac{3}{2}$ を得る。 第3式より、

$$3\alpha = -b$$

したがって、これらに $\alpha = -\frac{3}{2}$ を代入して、

$$a = -2 - \alpha = -2 - \left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{1}{2}$$

$$b = -3\alpha = -3 \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{9}{2}$$

解説

(1) 実数係数方程式が虚数解をもつとき、その共役複素数も解となるという性質は、入試において頻出である。解と係数の関係を利用する別解の解法も、素早く計算できるため習熟しておきたい。

(2) 3次方程式が2重解をもつ条件は、因数分解後に残る2次方程式の解の判別だけで終わらせてはならない。「重解が $x=1$ になる場合」と「$x=1$ 以外で重解をもつ場合」の2つのパターンを漏れなく検討することが重要である。

(3) 3次方程式の実数解の個数は、定数分離法で解くことも可能だが、本問のように極値の積が負になる条件（ $f(\alpha)f(\beta) < 0$ ）を用いると計算が簡潔になることが多い。

答え

(1) $a = -\frac{1}{2}, \quad b = \frac{9}{2}$

(2) $(a, b) = \left( -\frac{3}{2}, \frac{1}{2} \right), (-1, 0), (3, -4)$

(3) 求める条件は $b \left( b + \frac{4}{27}a^3 \right) < 0$ であり、条件を満たす範囲は直線 $b=0$ と曲線 $b=-\frac{4}{27}a^3$ で囲まれた領域のうち、$b>0$ かつ $b<-\frac{4}{27}a^3$ の部分、および $b<0$ かつ $b>-\frac{4}{27}a^3$ の部分である。（境界線は含まない）