数学2 高次方程式問題 60 解説

方針・初手

実数係数の方程式が虚数解を持つ性質を利用するか、方程式に解を直接代入して複素数の相等条件を用いるかの2通りのアプローチが考えられる。計算量としてはどちらも同程度であるため、自分にとってミスが少ない手法を選択するとよい。

解法1

実数係数の3次方程式 $x^3 + ax^2 + 8x + b = 0$ が虚数解 $x = 1+i$ を持つため、これと共役な複素数 $x = 1-i$ もこの方程式の解である。 3次方程式であるから、もう1つの解は実数解である。これを実数 $c$ とおく。

3次方程式の解と係数の関係より、以下の3つの式が成り立つ。

$$\begin{aligned} (1+i) + (1-i) + c &= -a \\ (1+i)(1-i) + (1-i)c + c(1+i) &= 8 \\ (1+i)(1-i)c &= -b \end{aligned}$$

第1式を整理すると、

$$2 + c = -a$$

第2式を整理すると、$(1+i)(1-i) = 1 - i^2 = 2$ であるから、

$$\begin{aligned} 2 + c(1-i+1+i) &= 8 \\ 2 + 2c &= 8 \\ c &= 3 \end{aligned}$$

これを第1式に代入して、

$$\begin{aligned} 2 + 3 &= -a \\ a &= -5 \end{aligned}$$

また、第3式を整理すると、

$$\begin{aligned} 2c &= -b \\ 2 \cdot 3 &= -b \\ b &= -6 \end{aligned}$$

したがって、$a = -5, b = -6$ である。

解法2

方程式の左辺に $x = 1+i$ を直接代入する。

まず、$(1+i)^2$ と $(1+i)^3$ を計算する。

$$(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i$$

$$(1+i)^3 = (1+i)^2 (1+i) = 2i(1+i) = -2 + 2i$$

これらを $x^3 + ax^2 + 8x + b = 0$ に代入すると、

$$(-2 + 2i) + a(2i) + 8(1+i) + b = 0$$

これを実部と虚部について整理すると、

$$(-2 + 8 + b) + (2 + 2a + 8)i = 0$$

$$(b + 6) + (2a + 10)i = 0$$

ここで、$a, b$ は実数であるから、$b+6$ と $2a+10$ も実数である。複素数の相等条件より、

$$\begin{cases} b + 6 = 0 \\ 2a + 10 = 0 \end{cases}$$

これを解いて、

$$a = -5, \quad b = -6$$

解説

「実数係数の方程式が $x=p+qi$ を解に持つならば、$x=p-qi$ も解に持つ」という共役複素数の性質は非常に重要である。この性質を用いると、方程式の次数にかかわらず解と係数の関係などに帰着させやすくなる。また、直接代入して「複素数の相等」に持ち込む解法も強力であり、未知数の数（この場合は $a, b$ の2つ）と等式の数（実部と虚部からの2つ）が一致するため、計算ミスなく処理すれば確実に答えに至ることができる。