数学2 高次方程式問題 61 解説

方針・初手

与えられた恒等式から、基本対称式 $\alpha+\beta+\gamma$ や $\alpha\beta\gamma$ の値を求める。その後、3文字の対称式の公式を利用するか、$\alpha, \beta, \gamma$ が方程式 $x^3+x+1=0$ の解であることを利用して次数を下げる（代入して計算を楽にする）アプローチをとる。

解法1

$x$ についての恒等式 $(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) = x^3 + x + 1$ の左辺を展開すると、

$$x^3 - (\alpha+\beta+\gamma)x^2 + (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x - \alpha\beta\gamma$$

となる。両辺の各次数の係数を比較すると、

$$\begin{cases} \alpha+\beta+\gamma = 0 \\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 1 \\ \alpha\beta\gamma = -1 \end{cases}$$

を得る。

ここで、3つの文字の因数分解の公式

$$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 - 3\alpha\beta\gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)$$

を利用する。$\alpha+\beta+\gamma = 0$ であるから、式の右辺は $0$ となる。

したがって、

$$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = 3\alpha\beta\gamma$$

が成り立つ。これに $\alpha\beta\gamma = -1$ を代入して、

$$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = 3 \times (-1) = -3$$

となる。

解法2

恒等式 $(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) = x^3 + x + 1$ において、$x = \alpha, \beta, \gamma$ をそれぞれ代入すると左辺は $0$ になる。これは、$\alpha, \beta, \gamma$ が3次方程式 $x^3 + x + 1 = 0$ の3つの解であることを示している。

したがって、それぞれを方程式に代入した関係式

$$\begin{aligned} \alpha^3 + \alpha + 1 &= 0 \\ \beta^3 + \beta + 1 &= 0 \\ \gamma^3 + \gamma + 1 &= 0 \end{aligned}$$

が成り立つ。これらを $\alpha^3 = -\alpha - 1$ などの形に変形し、辺々を加えると、

$$\begin{aligned} \alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 &= (-\alpha - 1) + (-\beta - 1) + (-\gamma - 1) \\ &= -(\alpha + \beta + \gamma) - 3 \end{aligned}$$

となる。

ここで、元の恒等式の右辺 $x^3+x+1$ において $x^2$ の項の係数は $0$ であるから、3次方程式の解と係数の関係より、解の和は

$$\alpha + \beta + \gamma = 0$$

である。これを上の式に代入して、

$$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = -0 - 3 = -3$$

となる。

解説

3次方程式の解が絡む対称式の値を求める標準的な問題である。解法1のように基本対称式の値を求めて $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3$ の公式を用いるのが王道であるが、公式を忘れてしまった場合やさらに高次の対称式を求める場合には、解法2のように「解であることを利用して次数を下げる」手法が非常に強力である。