数学2 高次方程式問題 63 解説

方針・初手

(1) は直接代入して計算する。虚数単位の性質 $i^2 = -1$、$i^3 = -i$、$i^4 = 1$ を用いる。 (2) は (1) の結果を利用する。因数定理より $P(\alpha) = 0$ ならば $P(x)$ は $(x - \alpha)$ を因数にもつ。$P(i) = 0$ と $P(-i) = 0$ から、$P(x)$ が $(x - i)(x + i) = x^2 + 1$ で割り切れることを見抜く。 (3) は与えられた条件式 $Q(k) = P(k)$ を $P(k) - Q(k) = 0$ と捉え直す。整式 $R(x) = P(x) - Q(x)$ を設定し、$R(x)$ の次数と最高次の係数に注意して因数分解された形を作るのが定石である。

解法1

(1)

$P(x) = x^4 + x^3 + x - 1$ に $x = i$ を代入する。

$$\begin{aligned} P(i) &= i^4 + i^3 + i - 1 \\ &= 1 - i + i - 1 \\ &= 0 \end{aligned}$$

同様に、$x = -i$ を代入する。

$$\begin{aligned} P(-i) &= (-i)^4 + (-i)^3 + (-i) - 1 \\ &= 1 + i - i - 1 \\ &= 0 \end{aligned}$$

(2)

(1) より、$P(x)$ は $(x - i)$ および $(x + i)$ を因数にもつ。すなわち、$P(x)$ は $(x - i)(x + i) = x^2 + 1$ で割り切れる。実際に $P(x)$ を $x^2 + 1$ で割ると、

$$\begin{aligned} P(x) &= x^4 + x^3 + x - 1 \\ &= x^2(x^2 + 1) + x(x^2 + 1) - (x^2 + 1) \\ &= (x^2 + 1)(x^2 + x - 1) \end{aligned}$$

方程式 $P(x) = 0$ より、

$$(x^2 + 1)(x^2 + x - 1) = 0$$

$x^2 + 1 = 0$ を満たす $x$ は $x = \pm i$ であり、これらは実数ではない。したがって、求める実数解は $x^2 + x - 1 = 0$ を満たす実数 $x$ である。解の公式を用いてこれを解くと、

$$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$$

(3)

整式 $R(x)$ を $R(x) = P(x) - Q(x)$ と定める。 $P(x)$ は $x^4$ を最高次の項とする4次式であり、$Q(x)$ は3次以下の整式である。よって、$R(x)$ は最高次の項が $x^4$ である4次式となる。

条件 $Q(1) = P(1)$、$Q(-1) = P(-1)$、$Q(2) = P(2)$、$Q(-2) = P(-2)$ より、

$$R(1) = 0, \quad R(-1) = 0, \quad R(2) = 0, \quad R(-2) = 0$$

が成り立つ。因数定理より、$R(x)$ は $(x - 1)$、$(x + 1)$、$(x - 2)$、$(x + 2)$ を因数にもつ。 $R(x)$ は $x^4$ の係数が $1$ の4次式であるから、次のように表せる。

$$\begin{aligned} R(x) &= (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2) \\ &= (x^2 - 1)(x^2 - 4) \\ &= x^4 - 5x^2 + 4 \end{aligned}$$

$R(x) = P(x) - Q(x)$ より、$Q(x) = P(x) - R(x)$ であるから、

$$\begin{aligned} Q(x) &= (x^4 + x^3 + x - 1) - (x^4 - 5x^2 + 4) \\ &= x^3 + 5x^2 + x - 5 \end{aligned}$$

解説

(1)、(2) は高次方程式の基本問題である。複素数の解を持つ場合、実数係数の方程式では共役な複素数も解となる（本問では $i$ と $-i$）。そのため、$x^2 + 1$ で割り切れることが分かり、4次式を2次式の積に分解できる。 (3) は「差の関数」を考える定石を用いる。未知の整式 $Q(x)$ を $ax^3 + bx^2 + cx + d$ とおいて連立方程式を立てることも可能だが、計算量が膨大になりミスを誘発しやすい。「複数の値で一致する関数」を扱う際は、差を取って $0$ になる条件（因数定理の利用）に帰着させるのが非常に有効である。最高次の係数がどうなるかを確認し忘れないよう注意したい。