数学2 高次方程式 問題 64 解説

方針・初手

与えられた条件式から、基本対称式である $x+y+z$、$xy+yz+zx$、$xyz$ の値をすべて求めることを目標とする。その後、解と係数の関係を用いて3次方程式を作成し、$x, y, z$ の値を決定する。

解法1

(1)

条件の式

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{7}{4}$$

の左辺を通分すると、

$$\frac{xy+yz+zx}{xyz} = \frac{7}{4}$$

となる。ここで、$xyz=8$ を代入すると、

$$\frac{xy+yz+zx}{8} = \frac{7}{4}$$

$$xy+yz+zx = \frac{7}{4} \cdot 8 = 14$$

(2)

乗法公式

$$(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx)$$

を用いる。与えられた条件 $x^2+y^2+z^2=21$ と、(1) で求めた $xy+yz+zx=14$ を代入すると、

$$\begin{aligned} (x+y+z)^2 &= 21 + 2 \cdot 14 \\ &= 21 + 28 \\ &= 49 \end{aligned}$$

$x, y, z$ はすべて正の数であるから、$x+y+z > 0$ である。よって、

$$x+y+z = 7$$

(3)

これまでの結果から、$x, y, z$ について以下の関係が成り立つ。

$$\begin{cases} x+y+z = 7 \\ xy+yz+zx = 14 \\ xyz = 8 \end{cases}$$

解と係数の関係より、$x, y, z$ は $t$ についての3次方程式

$$t^3 - (x+y+z)t^2 + (xy+yz+zx)t - xyz = 0$$

すなわち、

$$t^3 - 7t^2 + 14t - 8 = 0$$

の3つの解である。

左辺を因数分解する。$t=1$ を代入すると $1-7+14-8=0$ となるため、左辺は $t-1$ を因数にもつ。

$$\begin{aligned} t^3 - 7t^2 + 14t - 8 &= 0 \\ (t-1)(t^2 - 6t + 8) &= 0 \\ (t-1)(t-2)(t-4) &= 0 \end{aligned}$$

これより、方程式の解は $t = 1, 2, 4$ である。

$x \leqq y \leqq z$ という条件を満たすように $x, y, z$ に割り当てると、

$$x=1, y=2, z=4$$

となる。

解説

対称式を扱う際の典型的な問題である。3変数の基本対称式 $x+y+z$、$xy+yz+zx$、$xyz$ の値を揃えることで、それらを解にもつ3次方程式を構築できる。通分や $(x+y+z)^2$ の展開公式を用いて、与えられた条件から基本対称式の値を順番に求めていく流れは必ず習得しておきたい。

答え

(1) $14$

(2) $7$

(3) $x=1, y=2, z=4$