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数学2 解と係数の関係問題 3 解説

方針・初手

「小数第2位以下を切り捨てる」という条件を、不等式を用いて数式化することが初手となる。そこから解の和と積のとり得る値の範囲を求め、解と係数の関係を利用して方程式の係数を絞り込む。

解法1

$\alpha, \beta$ の小数第2位以下を切り捨てた値がそれぞれ $3.7, 0.2$ であるから、$\alpha, \beta$ の値の範囲は不等式を用いて次のように表される。

$$ 3.7 \leqq \alpha < 3.8 $$

$$ 0.2 \leqq \beta < 0.3 $$

辺々を加え合わせると、$\alpha+\beta$ の範囲が求まる。

$$ 3.7 + 0.2 \leqq \alpha+\beta < 3.8 + 0.3 $$

$$ 3.9 \leqq \alpha+\beta < 4.1 $$

したがって、[ア] $= 3.9$、[イ] $= 4.1$ である。

また、不等式の各辺は正であるから、辺々を掛け合わせると $\alpha\beta$ の範囲が求まる。

$$ 3.7 \times 0.2 \leqq \alpha\beta < 3.8 \times 0.3 $$

$$ 0.74 \leqq \alpha\beta < 1.14 $$

したがって、[ウ] $= 0.74$、[エ] $= 1.14$ である。

次に、2次方程式 $x^2+ax+b=0$ における解と係数の関係より、次が成り立つ。

$$ \alpha + \beta = -a $$

$$ \alpha\beta = b $$

これを先ほど求めた不等式に代入する。

$$ 3.9 \leqq -a < 4.1 $$

$$ 0.74 \leqq b < 1.14 $$

問題の条件より $a, b$ は整数であるから、この範囲に含まれる整数を求めると以下のようになる。

$$ -a = 4 \implies a = -4 $$

$$ b = 1 $$

したがって、[オ] $= -4$、[カ] $= 1$ である。

これにより、もとの2次方程式は $x^2 - 4x + 1 = 0$ と確定する。これを解の公式を用いて解く。

$$ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} $$

$\alpha > \beta$ であるから、解の正確な値はそれぞれ次のように定まる。

$$ \alpha = 2 + \sqrt{3} $$

$$ \beta = 2 - \sqrt{3} $$

したがって、[キ] $= 2 + \sqrt{3}$、[ク] $= 2 - \sqrt{3}$ である。

最後に、$\sqrt{3} \approx 1.732\cdots$ であることを用いると、$\alpha, \beta$ の小数表示は以下のようになる。

$$ \alpha = 2 + 1.732\cdots = 3.732\cdots $$

$$ \beta = 2 - 1.732\cdots = 0.267\cdots $$

これらの小数第3位以下を切り捨てる。

$$ \alpha \implies 3.73 $$

$$ \beta \implies 0.26 $$

したがって、[ケ] $= 3.73$、[コ] $= 0.26$ である。

解説

「小数の切り捨て」を不等式で表現する基本的な問題である。ある実数 $X$ の小数第 $n$ 位以下を切り捨てた値が $Y$ であるとき、$Y \leqq X < Y + 10^{-n+1}$ という関係が成り立つ。この基本事項を正確に運用できるかが問われている。

後半の小数の計算においては、平方根の近似値の知識が必要になる。$\sqrt{3} \approx 1.732$ などの基本的な無理数の近似値は暗記しておくのが望ましいが、万が一忘れた場合でも $1.73^2 = 2.9929$、$1.74^2 = 3.0276$ などを計算して自分で範囲を絞り込むことが可能である。