数学2 解と係数の関係 問題 4 解説

方針・初手

2次方程式の解の条件が与えられているため、方程式を直接解いて条件に当てはめる方針と、解と係数の関係を用いる方針が考えられる。本問は左辺が因数分解できることに気づくと非常に見通しが良くなる。

解法1

与えられた2次方程式の左辺を因数分解すると

$$(x - m)(x - 1) = 0$$

となる。よって、この2次方程式の解は $x = m, 1$ である。 1つの解が他の解の2倍に等しいため、以下の2つの場合が考えられる。

(i) $m$ が $1$ の2倍であるとき

$$m = 1 \times 2 = 2$$

(ii) $1$ が $m$ の2倍であるとき

$$1 = 2m$$

これを解いて $m = \frac{1}{2}$ である。

(i), (ii) より、求める $m$ の値は $m = \frac{1}{2}, 2$ である。

解法2

2つの解は一方が他方の2倍であるから、定数 $\alpha$ を用いて $\alpha, 2\alpha$ とおける。 解と係数の関係より

$$\begin{cases} \alpha + 2\alpha = m + 1 \\ \alpha \cdot 2\alpha = m \end{cases}$$

すなわち

$$\begin{cases} 3\alpha = m + 1 & \cdots ① \\ 2\alpha^2 = m & \cdots ② \end{cases}$$

が成り立つ。①より $\alpha = \frac{m+1}{3}$ であるから、これを②に代入すると

$$2 \left( \frac{m+1}{3} \right)^2 = m$$

$$\frac{2(m^2 + 2m + 1)}{9} = m$$

両辺を9倍して整理すると

$$2m^2 + 4m + 2 = 9m$$

$$2m^2 - 5m + 2 = 0$$

左辺を因数分解して

$$(2m - 1)(m - 2) = 0$$

よって、$m = \frac{1}{2}, 2$ である。

解説

2つの解の間に特定の関係がある場合は、解と係数の関係を利用して連立方程式を立てるのが定石である。しかし、2次方程式の係数に文字が含まれている問題では、まず「因数分解できないか」を疑うことが重要である。本問のように因数分解できることに気づけば、計算量や計算ミスのリスクを大幅に減らすことができる。

答え

$m = \frac{1}{2}, 2$