数学2 解と係数の関係問題 5 解説

方針・初手

2次方程式の解と係数の関係を利用して、$\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ の値を求める。次に、新たに作成する2次方程式について、解の和と解の積を対称式の変形を用いてそれぞれ計算する。最後に、解の和と積から2次方程式を復元する。

解法1

2次方程式 $x^2+3x-2=0$ の解が $\alpha, \beta$ であるから、解と係数の関係より

$$ \alpha+\beta = -3 $$

$$ \alpha\beta = -2 $$

である。

前半の条件について、求める2次方程式の解は $\alpha^2, \beta^2$ であるから、その和と積を計算する。解の和は

$$ \alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta $$

$$ = (-3)^2 - 2(-2) $$

$$ = 9 + 4 = 13 $$

となる。また、解の積は

$$ \alpha^2\beta^2 = (\alpha\beta)^2 $$

$$ = (-2)^2 = 4 $$

となる。したがって、$\alpha^2, \beta^2$ を解にもち、$x^2$ の係数が $1$ である2次方程式は

$$ x^2 - 13x + 4 = 0 $$

である。これと $x^2+[\text{ア}]x+[\text{イ}]=0$ の係数を比較して、$[\text{ア}] = -13$、$[\text{イ}] = 4$ である。

後半の条件について、求める2次方程式の解は $\alpha^3, \beta^3$ であるから、同様にその和と積を計算する。解の和は

$$ \alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta) $$

$$ = (-3)^3 - 3(-2)(-3) $$

$$ = -27 - 18 = -45 $$

となる。また、解の積は

$$ \alpha^3\beta^3 = (\alpha\beta)^3 $$

$$ = (-2)^3 = -8 $$

となる。したがって、$\alpha^3, \beta^3$ を解にもち、$x^2$ の係数が $1$ である2次方程式は

$$ x^2 + 45x - 8 = 0 $$

である。これと $x^2+[\text{ウ}]x+[\text{エ}]=0$ の係数を比較して、$[\text{ウ}] = 45$、$[\text{エ}] = -8$ である。

解説

対称式の計算と、解と係数の関係を用いた2次方程式の作成を組み合わせた典型問題である。基本対称式である $\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ の値を求め、目的の解の和と積を計算する。 2つの数 $p, q$ を解にもつ2次方程式のうち、$x^2$ の係数が $1$ であるものは $x^2 - (p+q)x + pq = 0$ と表せるという性質は、極めて重要であるため確実に使いこなせるようにしておきたい。