数学2 解と係数の関係 問題 6 解説

方針・初手

2次方程式の解と係数の関係を用いて、$\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ の値を求める。新たに作る2次方程式の2つの解の和と積を計算し、その結果から方程式を決定する。

解法1

2次方程式 $x^2+2x+3=0$ の解が $\alpha, \beta$ であるから、解と係数の関係より、

$$\begin{cases} \alpha + \beta = -2 \\ \alpha\beta = 3 \end{cases}$$

が成り立つ。

新たに作る2次方程式の解の和を求める。

$$\begin{aligned} \frac{1-\alpha}{1+\beta} + \frac{1-\beta}{1+\alpha} &= \frac{(1-\alpha)(1+\alpha) + (1-\beta)(1+\beta)}{(1+\beta)(1+\alpha)} \\ &= \frac{1 - \alpha^2 + 1 - \beta^2}{1 + \alpha + \beta + \alpha\beta} \\ &= \frac{2 - (\alpha^2 + \beta^2)}{1 + (\alpha + \beta) + \alpha\beta} \end{aligned}$$

ここで、$\alpha^2 + \beta^2$ の値は、

$$\begin{aligned} \alpha^2 + \beta^2 &= (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta \\ &= (-2)^2 - 2 \cdot 3 \\ &= 4 - 6 \\ &= -2 \end{aligned}$$

である。これを和の式に代入すると、

$$\frac{2 - (-2)}{1 + (-2) + 3} = \frac{4}{2} = 2$$

となる。

次に、新たに作る2次方程式の解の積を求める。

$$\begin{aligned} \frac{1-\alpha}{1+\beta} \cdot \frac{1-\beta}{1+\alpha} &= \frac{(1-\alpha)(1-\beta)}{(1+\beta)(1+\alpha)} \\ &= \frac{1 - (\alpha + \beta) + \alpha\beta}{1 + (\alpha + \beta) + \alpha\beta} \end{aligned}$$

それぞれに値を代入すると、

$$\frac{1 - (-2) + 3}{1 + (-2) + 3} = \frac{6}{2} = 3$$

となる。

したがって、求める2次方程式は、解の和が $2$、積が $3$ であるから、

$$x^2 - 2x + 3 = 0$$

となる。

よって、問題で与えられた形 $x^2 - [\text{オ}]x + [\text{カ}] = 0$ と比較して、オに当てはまる値は $2$、カに当てはまる値は $3$ である。

解法2

$\alpha+\beta=-2$ より、$1+\beta = -(1+\alpha)$ および $1+\alpha = -(1+\beta)$ が成り立つことを用いる。

新たに作る2次方程式の解は、それぞれ以下のように変形できる。

$$\begin{aligned} \frac{1-\alpha}{1+\beta} &= \frac{1-\alpha}{-(1+\alpha)} = \frac{\alpha-1}{\alpha+1} \\ \frac{1-\beta}{1+\alpha} &= \frac{1-\beta}{-(1+\beta)} = \frac{\beta-1}{\beta+1} \end{aligned}$$

これら2つの解の和を求める。

$$\begin{aligned} \frac{\alpha-1}{\alpha+1} + \frac{\beta-1}{\beta+1} &= \frac{(\alpha-1)(\beta+1) + (\beta-1)(\alpha+1)}{(\alpha+1)(\beta+1)} \\ &= \frac{(\alpha\beta + \alpha - \beta - 1) + (\alpha\beta - \alpha + \beta - 1)}{\alpha\beta + \alpha + \beta + 1} \\ &= \frac{2\alpha\beta - 2}{\alpha\beta + (\alpha + \beta) + 1} \end{aligned}$$

$\alpha+\beta=-2, \alpha\beta=3$ を代入すると、

$$\frac{2 \cdot 3 - 2}{3 + (-2) + 1} = \frac{4}{2} = 2$$

となる。

次に、解の積を求める。

$$\begin{aligned} \frac{\alpha-1}{\alpha+1} \cdot \frac{\beta-1}{\beta+1} &= \frac{(\alpha-1)(\beta-1)}{(\alpha+1)(\beta+1)} \\ &= \frac{\alpha\beta - (\alpha+\beta) + 1}{\alpha\beta + (\alpha+\beta) + 1} \end{aligned}$$

同様に値を代入すると、

$$\frac{3 - (-2) + 1}{3 + (-2) + 1} = \frac{6}{2} = 3$$

となる。

解の和が $2$、積が $3$ であるから、求める2次方程式は $x^2 - 2x + 3 = 0$ である。

解説

2次方程式の解と係数の関係、および対称式の計算に関する典型的な問題である。与えられた方程式から基本対称式（$\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$）の値を求め、作成したい2次方程式の2つの解の和と積を正確に計算すればよい。分数式の計算では、展開や通分などの式変形をミスなく行う力が求められる。結果的に、元の方程式と一致することも興味深い。

答え

オ: 2

カ: 3