数学2 解と係数の関係 問題 7 解説

方針・初手

実数を係数とする2次方程式が虚数解をもつとき、その2つの解は互いに共役な複素数となる性質を利用する。与えられた1つの解を $\alpha$ とすると、もう1つの解は $\bar{\alpha}$ であり、これが $2\alpha - 4 + 3i$ に等しいことから $\alpha$ を決定する。その後、解と係数の関係を用いて係数 $b, c$ を求める。

解法1

実数 $p, q$ （ただし $q \neq 0$）を用いて、1つの虚数解を $\alpha = p + qi$ とおく。

2次方程式 $x^2 + bx + c = 0$ は実数係数であるため、異なる2つの虚数解は互いに共役な複素数である。したがって、もう1つの解は共役複素数 $\bar{\alpha} = p - qi$ と表せる。

問題の条件より、他の解は $2\alpha - 4 + 3i$ とも表せるので、次の等式が成り立つ。

$$\bar{\alpha} = 2\alpha - 4 + 3i$$

ここに $\alpha = p + qi$ と $\bar{\alpha} = p - qi$ を代入して整理する。

$$p - qi = 2(p + qi) - 4 + 3i$$

$$p - qi = (2p - 4) + (2q + 3)i$$

$p, q$ は実数であるから、両辺の実部と虚部をそれぞれ比較して、以下の連立方程式を得る。

$$\begin{cases} p = 2p - 4 \\ -q = 2q + 3 \end{cases}$$

第1式より、

$$p = 4$$

第2式より、

$$3q = -3$$

$$q = -1$$

（これは $q \neq 0$ を満たすので適する）

したがって、2つの虚数解は $\alpha = 4 - i$ と $\bar{\alpha} = 4 + i$ である。

次に、2次方程式 $x^2 + bx + c = 0$ における解と係数の関係より、以下の式が成り立つ。

$$\begin{cases} \alpha + \bar{\alpha} = -b \\ \alpha \bar{\alpha} = c \end{cases}$$

これらに $\alpha = 4 - i$, $\bar{\alpha} = 4 + i$ を代入する。

和について、

$$-b = (4 - i) + (4 + i) = 8$$

これより、

$$b = -8$$

積について、

$$c = (4 - i)(4 + i) = 4^2 - i^2 = 16 - (-1) = 17$$

これより、

$$c = 17$$

以上より、$b$ と $c$ の値が求まる。

解説

実数係数の $n$ 次方程式が虚数解 $z$ をもつならば、その共役複素数 $\bar{z}$ も解にもつという重要な性質を用いた問題である。本問では2次方程式であるため、2つの解が互いに共役な複素数であると即座に判断できる。

未知の複素数 $\alpha$ を扱う際は、$\alpha = p + qi$（$p, q$ は実数）とおいて、実部と虚部に分けて比較する手法が定石である。条件を正確に立式できれば、解と係数の関係を利用してスムーズに係数を決定できる。

答え

$b = -8, \ c = 17$