数学2 解と係数の関係問題 8 解説

方針・初手

解と係数の関係を用いて $\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ を $a$ で表し、与えられた条件式に代入して $a$ の値を求める。後半は、新しい解の和と積を計算して2次方程式を構成するか、方程式の解の変換（平行移動）を利用して係数を決定する。

解法1

2次方程式 $2x^2 + ax + 2 = 0$ の2つの解が $\alpha, \beta$ であるから、解と係数の関係より

$$\begin{cases} \alpha + \beta = -\frac{a}{2} \\ \alpha\beta = \frac{2}{2} = 1 \end{cases}$$

が成り立つ。

与えられた条件 $\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} = -\frac{3}{2}$ にこれらを代入すると、

$$\frac{-\frac{a}{2}}{1} = -\frac{3}{2}$$

となり、これを解いて

$$a = 3$$

を得る。したがって、[ア] に入る数は $3$ である。

このとき、$\alpha+\beta = -\frac{3}{2}$ である。

次に、$\alpha-1$ と $\beta-1$ を2つの解にもつ2次方程式を求める。新しい2つの解の和と積をそれぞれ計算すると、

和は

$$(\alpha-1) + (\beta-1) = \alpha + \beta - 2 = -\frac{3}{2} - 2 = -\frac{7}{2}$$

積は

$$(\alpha-1)(\beta-1) = \alpha\beta - (\alpha+\beta) + 1 = 1 - \left(-\frac{3}{2}\right) + 1 = \frac{7}{2}$$

となる。

これらを2つの解にもつ2次方程式の1つは

$$x^2 - \left(-\frac{7}{2}\right)x + \frac{7}{2} = 0$$

と表せる。問題の形に合わせるために両辺を2倍すると

$$2x^2 + 7x + 7 = 0$$

となる。したがって、[イ] に入る数は $7$、[ウ] に入る数は $7$ である。

解法2

前半の $a=3$ を求める手順は解法1と同様である。これにより、元の2次方程式は $2x^2 + 3x + 2 = 0$ となる。

この方程式の解が $x = \alpha, \beta$ である。新しく求める方程式の解を $X$ とすると、題意より $X = x - 1$ であるから、$x = X + 1$ と表せる。

これを元の2次方程式 $2x^2 + 3x + 2 = 0$ に代入すると、

$$2(X+1)^2 + 3(X+1) + 2 = 0$$

展開して整理すると、

$$2(X^2 + 2X + 1) + 3X + 3 + 2 = 0$$

$$2X^2 + 7X + 7 = 0$$

変数 $X$ を $x$ に書き直すと、求める2次方程式の1つは

$$2x^2 + 7x + 7 = 0$$

となる。したがって、[イ] に入る数は $7$、[ウ] に入る数は $7$ である。

解説

解と係数の関係を利用する典型的な問題である。前半は公式に当てはめるだけで容易に解ける。後半については、新しい解の和と積を求めてから2次方程式を作る方法（解法1）が一般的であるが、解の変換を利用して方程式を丸ごと平行移動させる考え方（解法2）を用いると、代入と展開のみで済むため計算ミスを防ぎやすく、実戦的で有効な手法である。