数学2 解と係数の関係問題 9 解説

方針・初手

2次方程式の2解の差の絶対値 $|\alpha - \beta|$ を求めるため、解と係数の関係を利用する。対称式の変形 $|\alpha - \beta|^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$ を用いて $a$ の式で表し、その最小値を考える。

解法1

2次方程式 $x^2 - ax + 2a - 5 = 0$ において、解と係数の関係より

$$\alpha + \beta = a$$

$$\alpha\beta = 2a - 5$$

が成り立つ。

$$\begin{aligned} |\alpha - \beta|^2 &= (\alpha - \beta)^2 \\ &= (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta \\ &= a^2 - 4(2a - 5) \\ &= a^2 - 8a + 20 \\ &= (a - 4)^2 + 4 \end{aligned}$$

$a$ は実数であるから、$(a - 4)^2 \geqq 0$ である。したがって、$|\alpha - \beta|^2$ は $a = 4$ のとき最小値 $4$ をとる。

このとき、$|\alpha - \beta| \geqq 0$ であるから、$|\alpha - \beta|$ は最小値 $\sqrt{4} = 2$ をとる。

なお、このとき判別式は $D = a^2 - 4(2a - 5) = (a - 4)^2 + 4 = 4 > 0$ となり、条件を満たす実数解が存在している。

解法2

2次方程式の解の公式を用いて直接解を求める。

判別式を $D$ とすると、

$$\begin{aligned} D &= (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a - 5) \\ &= a^2 - 8a + 20 \\ &= (a - 4)^2 + 4 \end{aligned}$$

$a$ が実数のとき $(a - 4)^2 \geqq 0$ より $D > 0$ となるため、この2次方程式は常に異なる2つの実数解をもつ。解の公式より、2つの解は

$$x = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 8a + 20}}{2}$$

である。$\alpha, \beta$ の大小関係によらず、2解の差の絶対値は

$$\begin{aligned} |\alpha - \beta| &= \left| \frac{a + \sqrt{a^2 - 8a + 20}}{2} - \frac{a - \sqrt{a^2 - 8a + 20}}{2} \right| \\ &= \sqrt{a^2 - 8a + 20} \\ &= \sqrt{(a - 4)^2 + 4} \end{aligned}$$

ルートの中身は $a = 4$ のとき最小値 $4$ をとる。ルート全体としても、このとき最小値 $\sqrt{4} = 2$ をとる。

解説

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2解 $\alpha, \beta$ の差の絶対値は、解の公式から導かれる $\frac{\sqrt{D}}{|a|}$ という性質を用いて直接求めることもできる。解と係数の関係を用いる方法と解の公式を用いる方法のどちらでもスムーズに計算できるようにしておきたい。本問では判別式が常に正となるため、場合分けなどをせずに最小値を求めることができる。