数学2 解と係数の関係 問題 10 解説

方針・初手

• 2次方程式の解と係数の関係を利用する。
• 虚数解をもつための条件（判別式）の確認を忘れないようにする。

解法1

2次方程式 $x^2 - ax + a^2 - 3 = 0$ の2つの解が $p+qi$ と $p-qi$ であるから、解と係数の関係より、2つの解の積について以下の式が成り立つ。

$$(p+qi)(p-qi) = a^2 - 3$$

問題の条件より $(p+qi)(p-qi) = 4$ であるから、次の方程式を得る。

$$a^2 - 3 = 4$$

これを解いて、以下の値を得る。

$$a^2 = 7$$

$$a = \pm\sqrt{7}$$

次に、この2次方程式が虚数解をもつ条件を確認する。実数係数の2次方程式が虚数解をもつ条件は、判別式 $D$ が負となることである。

$$D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 3)$$

$$D = a^2 - 4a^2 + 12$$

$$D = -3a^2 + 12 < 0$$

これを整理して、以下の条件を得る。

$$a^2 > 4$$

先ほど求めた $a^2 = 7$ はこの条件を満たしている。 また、このとき解と係数の関係（和）より $2p = a$ すなわち $p = \pm\frac{\sqrt{7}}{2}$ となり、$(p+qi)(p-qi) = p^2 + q^2 = 4$ から $q^2 = 4 - \frac{7}{4} = \frac{9}{4} > 0$ となる。これにより、題意の $q$ が $0$ でない実数となることも確認できる。

以上より、求める実数 $a$ の値が決まる。

解法2

2次方程式の解の公式を直接用いる。

方程式 $x^2 - ax + a^2 - 3 = 0$ が虚数解をもつための条件は、判別式 $D < 0$ である。

$$D = a^2 - 4(a^2 - 3) = -3a^2 + 12 < 0$$

すなわち、$a^2 > 4$ が成り立つ必要がある。 このとき、方程式の解は以下のようになる。

$$x = \frac{a \pm \sqrt{-3a^2 + 12}}{2} = \frac{a}{2} \pm \frac{\sqrt{3a^2 - 12}}{2} i$$

これが $p \pm qi$ と一致するので、以下の関係が成り立つ。

$$p = \frac{a}{2}$$

$$q = \pm \frac{\sqrt{3a^2 - 12}}{2}$$

条件 $(p+qi)(p-qi) = 4$ は $p^2 + q^2 = 4$ であるから、代入して計算する。

$$\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3a^2 - 12}}{2}\right)^2 = 4$$

$$\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2 - 12}{4} = 4$$

$$\frac{4a^2 - 12}{4} = 4$$

$$a^2 - 3 = 4$$

$$a^2 = 7$$

これは虚数解をもつ条件 $a^2 > 4$ を満たす。したがって、$a = \pm\sqrt{7}$ である。 （このとき $3a^2 - 12 = 9 > 0$ であるから、たしかに $q$ は $0$ でない実数となる。）

解説

実数係数の2次方程式において、共役な2つの複素数解の積は定数項と一致する。この解と係数の関係の性質を利用すれば、$a^2 - 3 = 4$ を直ちに導くことができる。 ただし、「虚数解をもつ」という前提条件があるため、求まった $a$ の値が判別式 $D < 0$ を満たすかどうかの確認を忘れてはならない。解答中では $a^2 = 7$ の時点で $D < 0$ になることを確認している。

答え

$\pm\sqrt{7}$