数学2 解と係数の関係問題 11 解説

方針・初手

2次方程式の2つの解についての対称式の値を求める問題である。解と係数の関係を用いて基本対称式 $\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ の値を求め、対称式の変形公式を利用して計算するのが標準的である。また、解が方程式を満たすことを利用して次数を下げる手法も有効である。

解法1

2次方程式 $x^2 + x + 2 = 0$ の2つの解が $\alpha, \beta$ であるから、解と係数の関係より以下の式が成り立つ。

$$ \alpha + \beta = -1 $$

$$ \alpha\beta = 2 $$

求める式 $\alpha^3 + \beta^3$ は、対称式の変形公式を用いて次のように表すことができる。

$$ \alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) $$

上で求めた $\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ の値を代入して計算する。

$$ \alpha^3 + \beta^3 = (-1)^3 - 3 \cdot 2 \cdot (-1) $$

$$ \alpha^3 + \beta^3 = -1 + 6 $$

$$ \alpha^3 + \beta^3 = 5 $$

解法2

$\alpha, \beta$ は $x^2 + x + 2 = 0$ の解であるから、それぞれ代入して成り立つ。

$$ \alpha^2 + \alpha + 2 = 0 $$

$$ \beta^2 + \beta + 2 = 0 $$

これらを変形して、2次式を1次式に下げる（次数下げ）。

$$ \alpha^2 = -\alpha - 2 $$

$$ \beta^2 = -\beta - 2 $$

この関係式を用いて $\alpha^3$ と $\beta^3$ の次数を下げる。

$$ \alpha^3 = \alpha \cdot \alpha^2 = \alpha(-\alpha - 2) = -\alpha^2 - 2\alpha $$

さらに $\alpha^2 = -\alpha - 2$ を代入する。

$$ \alpha^3 = -(-\alpha - 2) - 2\alpha = \alpha + 2 - 2\alpha = -\alpha + 2 $$

同様の計算により、$\beta$ についても以下が成り立つ。

$$ \beta^3 = -\beta + 2 $$

したがって、求める式の値は次のように変形できる。

$$ \alpha^3 + \beta^3 = (-\alpha + 2) + (-\beta + 2) $$

$$ \alpha^3 + \beta^3 = -(\alpha + \beta) + 4 $$

解と係数の関係より $\alpha + \beta = -1$ であるから、これを代入する。

$$ \alpha^3 + \beta^3 = -(-1) + 4 = 1 + 4 = 5 $$

解説

2次方程式の解に関する対称式の値を求める、非常に典型的な問題である。解法1で示した「解と係数の関係」と「対称式の変形公式」を組み合わせる手法は、最も速く確実に答えを導くことができるため、必ず習得しておくべきである。一方、解法2で示した「次数下げ」の発想は、3次以上のより高次な式の値を求める場合や、非対称な式の値を求める場合などに強力な武器となる。両方の解法を理解し、問題に応じて使い分けられるようにしておくことが望ましい。