数学2 解と係数の関係 問題 12 解説

方針・初手

解と係数の関係を用いて、与えられた対称式 $\alpha^2 + \beta^2$ を $\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ で表し、$a$ についての方程式を立てる。

解法1

2次方程式 $x^2 - 2ax + a = 0$ の2つの解が $\alpha, \beta$ であるから、解と係数の関係より以下の式が成り立つ。

$$\begin{cases} \alpha + \beta = 2a \\ \alpha\beta = a \end{cases}$$

条件より $\alpha^2 + \beta^2 = 2$ である。この式の左辺を基本対称式を用いて変形する。

$$(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 2$$

ここに解と係数の関係で得た式を代入する。

$$(2a)^2 - 2a = 2$$

$$4a^2 - 2a - 2 = 0$$

両辺を $2$ で割り、因数分解をして方程式を解く。

$$2a^2 - a - 1 = 0$$

$$(2a + 1)(a - 1) = 0$$

よって、求める $a$ の値は以下の通りである。

$$a = 1, -\frac{1}{2}$$

解説

2次方程式の解と係数の関係および対称式の基本変形を用いる典型的な問題である。問題文には「2つの解」とだけあり、「実数解」とは指定されていないため、判別式を用いた実数解条件の確認は必須ではない。なお、仮に判別式を $D$ として $D \geqq 0$ を確認したとしても、今回得られた $a$ の値はどちらも条件を満たしている。

答え

$a = 1, -\frac{1}{2}$