数学2 解と係数の関係 問題 13 解説

方針・初手

2次方程式の解と係数の関係を用い、対称式の変形を行う。また、解が虚数であるという条件からパラメータ $s$ の値の範囲を求め、関数のとり得る値の範囲を2次関数の最大・最小問題として処理する。

解法1

2次方程式 $x^2 + sx + 1 = 0$ の解が $\alpha, \beta$ であるから、解と係数の関係より

$$\alpha + \beta = -s, \quad \alpha \beta = 1$$

である。したがって、

$$\text{①} = 1$$

である。

$\alpha \beta = 1$ より $\beta = \frac{1}{\alpha}$ であるから、

$$\alpha + \frac{1}{\alpha} = \alpha + \beta = -s$$

となる。したがって、

$$\text{②} = -s$$

である。

対称式の変形により、

$$\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2} = \left( \alpha + \frac{1}{\alpha} \right)^2 - 2\alpha \cdot \frac{1}{\alpha} = (-s)^2 - 2 = s^2 - 2$$

となる。したがって、

$$\text{③} = s^2 - 2$$

である。

同様にして、

$$\alpha^4 + \frac{1}{\alpha^4} = \left( \alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2} \right)^2 - 2\alpha^2 \cdot \frac{1}{\alpha^2} = (s^2 - 2)^2 - 2 = s^4 - 4s^2 + 4 - 2 = s^4 - 4s^2 + 2$$

となる。したがって、

$$\text{④} = s^4 - 4s^2 + 2$$

である。

次に、実数係数の2次方程式 $x^2 + sx + 1 = 0$ が虚数解 $\alpha$ をもつ条件は、判別式を $D$ とすると $D < 0$ となることである。

$$D = s^2 - 4 < 0$$

$$-2 < s < 2$$

このとき、$t = s^2$ とおくと、$s$ の範囲から $t$ のとり得る値の範囲は

$$0 \leqq t < 4$$

となる。$\alpha^4 + \frac{1}{\alpha^4}$ を $t$ を用いて表すと、

$$\alpha^4 + \frac{1}{\alpha^4} = t^2 - 4t + 2 = (t - 2)^2 - 2$$

となる。

$0 \leqq t < 4$ におけるこの関数のとり得る値の範囲を考える。

$t = 2$ のとき、最小値 $-2$ をとる。

また、$t = 0$ のとき値は $2$ となる（$t \to 4$ のときの極限値も $2$ であるが、境界を含まない）。したがって、最大値は $2$ である。

よって、とり得る値の範囲は

$$-2 \leqq \alpha^4 + \frac{1}{\alpha^4} \leqq 2$$

となる。したがって、

$$\text{⑤} = -2, \quad \text{⑥} = 2$$

である。

最後に、$\alpha^4 + \frac{1}{\alpha^4} = -2$ となるのは、$t = 2$ のときである。

$s^2 = 2$ より、

$$s = \pm \sqrt{2}$$

である。したがって、

$$\text{⑦} = \pm \sqrt{2}$$

である。

解説

解と係数の関係および対称式の基本的な変形を問う問題である。

後半のとり得る値の範囲については、$\alpha$ が虚数であるという条件から判別式を利用してパラメータ $s$ の範囲を正しく求めることがポイントである。その後は $s^2 = t$ などと置き換えて2次関数の最大・最小問題に帰着させると見通しがよい。その際、$t$ の変域に端点が含まれるかどうかに注意して最大値・最小値を決定する。

答え

①: $1$

②: $-s$

③: $s^2 - 2$

④: $s^4 - 4s^2 + 2$

⑤: $-2$

⑥: $2$

⑦: $\pm \sqrt{2}$