数学2 解と係数の関係問題 14 解説

方針・初手

2つの2次方程式に対して、それぞれ解と係数の関係を適用する。得られた関係式を連立させて $a$ と $b$ の値を求める。このとき、最初の方程式が「2つの虚数解をもつ」という条件から、判別式が負になるという制約がつくことに注意して、求めた解の吟味を行う。

解法1

2次方程式 $x^2 - ax + b = 0$ が2つの虚数解をもつため、係数が実数であることから判別式を $D$ とすると、$D < 0$ が成り立つ。

$$D = a^2 - 4b < 0$$

また、解と係数の関係より、以下の式が成り立つ。

$$\begin{aligned} \alpha + \beta &= a \\ \alpha \beta &= b \end{aligned}$$

次に、2次方程式 $x^2 + 3ax + 2b = 0$ の解が $\alpha^2, \beta^2$ であるから、同様に解と係数の関係より、

$$\begin{aligned} \alpha^2 + \beta^2 &= -3a \\ \alpha^2 \beta^2 &= 2b \end{aligned}$$

が得られる。

ここで、$\alpha^2 \beta^2 = (\alpha \beta)^2 = b^2$ であるから、

$$b^2 = 2b$$

$$b(b - 2) = 0$$

よって、$b = 0$ または $b = 2$ である。

(i) $b = 0$ のとき判別式の条件 $a^2 - 4b < 0$ に代入すると、$a^2 < 0$ となる。$a$ は実数であるため、これを満たす $a$ は存在しない。したがって、不適である。

(ii) $b = 2$ のとき判別式の条件 $a^2 - 4b < 0$ に代入すると、

$$a^2 - 8 < 0$$

$$-2\sqrt{2} < a < 2\sqrt{2}$$

となる。一方、$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta = a^2 - 2b$ であるから、

$$a^2 - 2b = -3a$$

これに $b = 2$ を代入すると、

$$a^2 - 4 = -3a$$

$$a^2 + 3a - 4 = 0$$

$$(a + 4)(a - 1) = 0$$

よって、$a = -4, 1$ を得る。このうち、条件 $-2\sqrt{2} < a < 2\sqrt{2}$ を満たすのは $a = 1$ のみである。

以上より、求める実数 $a, b$ の値は $a = 1, b = 2$ である。

解説

解と係数の関係を利用して未知数を決定する典型的な問題である。2組の方程式と解の関係を数式化し、連立方程式を解くという一本道で答えに辿り着ける。ただし、「2つの虚数解をもつ」という記述を見落とすと、判別式による条件 $a^2 - 4b < 0$ を忘れてしまい、$a = -4$ や $b = 0$ などの不適な解を排除できなくなるため注意が必要である。方程式が実数解をもつか虚数解をもつかといった解の性質に関する条件は、常に判別式によるチェックを要求していると考えよう。