数学2 三角関数 問題 2 解説

方針・初手

与式に現れる角度（$105^\circ, 75^\circ, 15^\circ$）に着目する。$105^\circ = 90^\circ + 15^\circ$、$75^\circ = 90^\circ - 15^\circ$ であることを利用し、すべての項を $15^\circ$ の三角関数で表して式を整理する方針が最も簡明である。

その他にも、和積の公式や三角関数の合成を用いる方法、あるいは加法定理を用いて各項の三角比の値を直接計算する方法も考えられる。

解法1

$90^\circ \pm \theta$ の三角関数の性質を用いて、分子の角度を $15^\circ$ に変換する。

$$\sin 105^\circ = \sin (90^\circ + 15^\circ) = \cos 15^\circ$$

$$\cos 75^\circ = \cos (90^\circ - 15^\circ) = \sin 15^\circ$$

これらを与式の分子に代入すると、以下のようになる。

$$\frac{\sin 105^\circ + \cos 75^\circ}{\sin 15^\circ + \cos 15^\circ} = \frac{\cos 15^\circ + \sin 15^\circ}{\sin 15^\circ + \cos 15^\circ}$$

分母と分子が等しくなるため、約分して式の値を求めることができる。

$$\frac{\cos 15^\circ + \sin 15^\circ}{\sin 15^\circ + \cos 15^\circ} = 1$$

解法2

和と差の積の公式と、三角関数の合成を利用して計算する。

分子について、$\cos 75^\circ = \sin 15^\circ$ を用いて正弦の和の形にし、和積の公式を適用する。

$$\begin{aligned} \sin 105^\circ + \cos 75^\circ &= \sin 105^\circ + \sin 15^\circ \\ &= 2 \sin \frac{105^\circ + 15^\circ}{2} \cos \frac{105^\circ - 15^\circ}{2} \\ &= 2 \sin 60^\circ \cos 45^\circ \\ &= 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \frac{\sqrt{6}}{2} \end{aligned}$$

分母について、三角関数の合成を行う。

$$\begin{aligned} \sin 15^\circ + \cos 15^\circ &= \sqrt{2} \sin (15^\circ + 45^\circ) \\ &= \sqrt{2} \sin 60^\circ \\ &= \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= \frac{\sqrt{6}}{2} \end{aligned}$$

したがって、与式の値は以下のようになる。

$$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}} = 1$$

解法3

加法定理を用いて、各項の三角比の値を直接求めて代入する。

$$\begin{aligned} \sin 105^\circ &= \sin (60^\circ + 45^\circ) \\ &= \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \cos 75^\circ &= \cos (45^\circ + 30^\circ) \\ &= \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \sin 15^\circ &= \sin (45^\circ - 30^\circ) \\ &= \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \cos 15^\circ &= \cos (45^\circ - 30^\circ) \\ &= \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \end{aligned}$$

これらを与式に代入する。

$$\frac{\sin 105^\circ + \cos 75^\circ}{\sin 15^\circ + \cos 15^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}$$

分子と分母をそれぞれ計算する。

分子：

$$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$

分母：

$$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$

よって、与式の値は以下のようになる。

$$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}} = 1$$

解説

三角関数の基本的な性質（還元公式）を正確に使いこなせるかを問う問題である。

解法3のように力技で値をすべて計算しても答えを出すことは可能であるが、計算量が増え、計算ミスのリスクが高まる。解法1のように式全体を見渡し、角度の関係性（和や差が $90^\circ$ や $180^\circ$ になること）に気づけば、分母と分子が同じ形になることが分かり、暗算レベルで処理できる。試験本番では、いきなり計算に飛びつくのではなく、式を簡単にする工夫ができないか考える姿勢が重要である。

答え

$1$