数学2 三角関数 問題 4 解説

方針・初手

次数が高い三角関数の式は、基本関係式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ を用いて次数を下げるか、1つの文字に統一することが定石である。 本問では、$\sin^2 x$ と $\cos^2 x$ の対称式であることに着目し、変形公式 $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を用いて $\sin x \cos x$ の塊を作り倍角の公式を利用する方法や、$\sin^2 x = t$ とおいて $t$ の関数に帰着させる方法が考えられる。

解法1

$\sin^6 x + \cos^6 x$ を $(\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3$ とみなし、対称式の変形公式を用いる。

$$\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^3 - 3\sin^2 x \cos^2 x (\sin^2 x + \cos^2 x)$$

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ であるから、

$$\sin^6 x + \cos^6 x = 1^3 - 3\sin^2 x \cos^2 x \cdot 1 = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x$$

ここで、2倍角の公式 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ より $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ であるから、これを代入する。

$$1 - 3\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 3 \left( \frac{1}{2} \sin 2x \right)^2 = 1 - \frac{3}{4} \sin^2 2x$$

任意の実数 $x$ に対して $-1 \leqq \sin 2x \leqq 1$ であるから、$0 \leqq \sin^2 2x \leqq 1$ が成り立つ。 したがって、$1 - \frac{3}{4} \sin^2 2x$ が最小となるのは、引く数が最大となるとき、すなわち $\sin^2 2x = 1$ のときである。

このとき、最小値 $A$ は次のように求まる。

$$A = 1 - \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4}$$

よって、求める $\frac{1}{A}$ の値は次のようになる。

$$\frac{1}{A} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$$

解法2

$t = \sin^2 x$ とおく。任意の実数 $x$ に対して $-1 \leqq \sin x \leqq 1$ より、

$$0 \leqq t \leqq 1$$

である。また、$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - t$ と表せる。 これらを用いて与式を $t$ で表す。

$$\begin{aligned} \sin^6 x + \cos^6 x &= (\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3 \\ &= t^3 + (1 - t)^3 \\ &= t^3 + (1 - 3t + 3t^2 - t^3) \\ &= 3t^2 - 3t + 1 \end{aligned}$$

この $t$ の2次関数を平方完成して最小値を調べる。

$$3t^2 - 3t + 1 = 3 \left( t^2 - t \right) + 1 = 3 \left( t - \frac{1}{2} \right)^2 - 3 \cdot \frac{1}{4} + 1 = 3 \left( t - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{4}$$

$0 \leqq t \leqq 1$ におけるこの関数の最小値を考える。 頂点の $t$ 座標 $t = \frac{1}{2}$ は定義域 $0 \leqq t \leqq 1$ に含まれるため、$t = \frac{1}{2}$ のとき最小値 $\frac{1}{4}$ をとる。

したがって、最小値 $A = \frac{1}{4}$ となる。 求める値は次のようになる。

$$\frac{1}{A} = 4$$

解説

$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の偶数次の和は、和 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ が常に成り立つことを利用して積 $\sin^2 \theta \cos^2 \theta$ のみの式に変形できるのが特徴である。解法1はこの性質を生かし、積 $\sin \theta \cos \theta$ から2倍角の公式を用いて $\sin 2\theta$ に帰着させる、三角関数の最大・最小問題における最も基本的なアプローチである。

一方、解法2のように $\sin^2 x$ などを1つの文字に置き換えて多項式の問題に帰着させる手法も強力である。計算量はやや増える場合があるが、置き換えた文字の変域に注意してグラフを考えれば機械的に処理できる利点がある。

答え

4