数学2 三角関数 問題 6 解説

方針・初手

$\sin(5x)$ を $\sin x$ の多項式として表したものを $f(\sin x)$ とする。このとき、多項式 $f(t)$ の定数項以外の係数の和は、$f(1) - f(0)$ として求められることに着目する。また、直接加法定理や2倍角・3倍角の公式を用いて $\sin(5x)$ を展開し、多項式を直接導出することも可能である。

解法1

$\sin(5x)$ は $\sin x$ の多項式で表すことができるので、その多項式を $f(t)$ とおくと、次のように表せる。

$$\sin(5x) = f(\sin x)$$

ここで、$f(t)$ を $n$ 次多項式として、$f(t) = a_n t^n + a_{n-1} t^{n-1} + \cdots + a_1 t + a_0$ とおく。 定数項以外の各係数の和は $a_n + a_{n-1} + \cdots + a_1$ であり、これは多項式の性質から $f(1) - f(0)$ に等しい。

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき、$\sin x = \sin \frac{\pi}{2} = 1$ であるから、

$$f(1) = \sin\left(5 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = \sin\frac{5\pi}{2} = \sin\frac{\pi}{2} = 1$$

$x = 0$ のとき、$\sin x = \sin 0 = 0$ であるから、

$$f(0) = \sin(5 \cdot 0) = \sin 0 = 0$$

したがって、求める定数項以外の各係数の和は、

$$f(1) - f(0) = 1 - 0 = 1$$

解法2

加法定理および2倍角・3倍角の公式を用いて、$\sin(5x)$ を $\sin x$ のみで表す。

$$\begin{aligned} \sin(5x) &= \sin(3x + 2x) \\ &= \sin 3x \cos 2x + \cos 3x \sin 2x \end{aligned}$$

ここで、2倍角と3倍角の公式より以下の等式が成り立つ。

$$\begin{aligned} \sin 2x &= 2\sin x \cos x \\ \cos 2x &= 1 - 2\sin^2 x \\ \sin 3x &= 3\sin x - 4\sin^3 x \\ \cos 3x &= 4\cos^3 x - 3\cos x \end{aligned}$$

これらを代入して展開する。

$$\begin{aligned} \sin(5x) &= (3\sin x - 4\sin^3 x)(1 - 2\sin^2 x) + (4\cos^3 x - 3\cos x)(2\sin x \cos x) \\ &= (3\sin x - 6\sin^3 x - 4\sin^3 x + 8\sin^5 x) + 2\sin x \cos^2 x (4\cos^2 x - 3) \end{aligned}$$

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ を用いて、残りの $\cos x$ を $\sin x$ に変換する。

$$\begin{aligned} \sin(5x) &= (3\sin x - 10\sin^3 x + 8\sin^5 x) + 2\sin x (1 - \sin^2 x) \{4(1 - \sin^2 x) - 3\} \\ &= 3\sin x - 10\sin^3 x + 8\sin^5 x + 2\sin x (1 - \sin^2 x) (1 - 4\sin^2 x) \\ &= 3\sin x - 10\sin^3 x + 8\sin^5 x + 2\sin x (1 - 5\sin^2 x + 4\sin^4 x) \\ &= 3\sin x - 10\sin^3 x + 8\sin^5 x + 2\sin x - 10\sin^3 x + 8\sin^5 x \\ &= 16\sin^5 x - 20\sin^3 x + 5\sin x \end{aligned}$$

以上より、$\sin(5x)$ を $\sin x$ の多項式で表すと $16\sin^5 x - 20\sin^3 x + 5\sin x$ となる。 この多項式の定数項は $0$ である。 よって、定数項以外の各係数の和は、

$$16 + (-20) + 5 = 1$$

解説

多項式 $P(x)$ において、すべての係数の和は $P(1)$ で求められるという整式の基本性質を三角関数に応用したのが解法1である。今回問われているのは「定数項以外の各係数の和」であるため、$P(1) - P(0)$ を計算している。 多項式の係数の和を求めるアプローチを持っていれば計算ミスを防ぐことができ、非常に短時間で解答できる。解法2は計算量が多いものの、三角関数の諸公式を正しく運用して式変形を行う標準的な処理である。

答え

1