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数学2 三角関数問題 7 解説

方針・初手

与えられた条件式 $A+B=90^\circ$ を用いて文字を1つ消去し、1変数の三角関数の最大・最小問題に帰着させる。あるいは、和積の公式を利用して積の形に直す手法も有効である。いずれの場合も、与えられた不等式から変数の定義域を正確に求めることが重要である。

解法1

$A+B=90^\circ$ より、$B = 90^\circ - A$ である。

これを $\sin A + \sin B$ に代入すると、

$$\sin A + \sin(90^\circ - A) = \sin A + \cos A$$

となる。三角関数の合成を用いると、

$$\sin A + \cos A = \sqrt{2}\sin(A + 45^\circ)$$

と変形できる。

次に、$A$ のとり得る値の範囲を求める。条件 $A \geqq 0$ と $B > 0$、および $B = 90^\circ - A$ より、

$$90^\circ - A > 0 \iff A < 90^\circ$$

したがって、$A$ の定義域は $0^\circ \leqq A < 90^\circ$ となる。このとき、$A + 45^\circ$ のとり得る値の範囲は、

$$45^\circ \leqq A + 45^\circ < 135^\circ$$

である。

この範囲において、$\sin(A + 45^\circ)$ の値の変化を調べる。最大値は、$A + 45^\circ = 90^\circ$ のときにとる。このとき $A = 45^\circ$ であり、$B = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$ である。最大値は $\sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}$ となる。

最小値は、区間の端点においてとる。 $A + 45^\circ = 45^\circ$ のとき、$\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ であり、式全体の値は $1$ となる。 $A + 45^\circ \to 135^\circ$ の極限では、$\sin 135^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ に近づき、式全体の値は $1$ に近づくが、境界を含まないためこの値をとることはない。したがって、最小値をとるのは $A + 45^\circ = 45^\circ$、すなわち $A = 0^\circ$ のときである。このとき、$B = 90^\circ - 0^\circ = 90^\circ$ である。最小値は $\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$ となる。

解法2

和積の公式を利用する。

$$\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

条件より $A+B=90^\circ$ であるから、これを代入すると、

$$2 \sin 45^\circ \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) = \sqrt{2} \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

となる。

次に、$A-B$ のとり得る値の範囲を調べる。 $A+B=90^\circ$ より $B = 90^\circ - A$ であるから、

$$A - B = A - (90^\circ - A) = 2A - 90^\circ$$

ここで、$A \geqq 0$ かつ $B > 0 \implies A < 90^\circ$ より、$0^\circ \leqq A < 90^\circ$ であるから、

$$0^\circ \leqq 2A < 180^\circ$$

各辺から $90^\circ$ を引いて、

$$-90^\circ \leqq 2A - 90^\circ < 90^\circ$$

すなわち、

$$-90^\circ \leqq A - B < 90^\circ$$

両辺を $2$ で割ると、

$$-45^\circ \leqq \frac{A-B}{2} < 45^\circ$$

となる。

この範囲において、$\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ の最大値と最小値を考える。最大値は $\frac{A-B}{2} = 0^\circ$ のときにとり、その値は $1$ である。このとき $A - B = 0^\circ$ であり、$A+B=90^\circ$ と連立して解くと $A = 45^\circ, B = 45^\circ$ を得る。よって、最大値は $\sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}$ である。

最小値は $\frac{A-B}{2} = -45^\circ$ のときにとり、その値は $\frac{1}{\sqrt{2}}$ である。（$\frac{A-B}{2} \to 45^\circ$ の側は等号を含まないため考慮しなくてよい）このとき $A - B = -90^\circ$ であり、$A+B=90^\circ$ と連立して解くと $A = 0^\circ, B = 90^\circ$ を得る。よって、最小値は $\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$ である。

解説

2変数の関数を条件式を用いて1変数に帰着させる、あるいは和積の公式を用いて積の形に変形する、三角関数の最大・最小問題の典型的な解法である。本問で最も注意すべき点は、変数の定義域の確認である。問題文の $A \geqq 0, B > 0$ から、片方の境界が等号を含み、もう片方の境界が等号を含まない範囲が導かれる。この等号の有無が最小値を与える条件に直接影響するため、不注意に解き進めると誤答につながる。