数学2 三角関数 問題 9 解説

方針・初手

与えられた $B, C$ の式に対し、加法定理を展開して愚直に計算していく方法が基本となる。

また、角の形が $\theta, \theta + \frac{2}{3}\pi, \theta - \frac{2}{3}\pi$ と $\frac{2}{3}\pi$ ずつずれていることに着目すると、3倍角の公式 $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ を用いて、$A, B, C$ をある3次方程式の解として捉えることもできる。この見方ができれば、解と係数の関係を利用して非常に鮮やかに解くことが可能である。

解法1

(1)

加法定理を用いて $B, C$ を展開する。

$$B = \cos\theta\cos\frac{2}{3}\pi - \sin\theta\sin\frac{2}{3}\pi = -\frac{1}{2}\cos\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta$$

$$C = \cos\theta\cos\frac{2}{3}\pi + \sin\theta\sin\frac{2}{3}\pi = -\frac{1}{2}\cos\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta$$

これらをそれぞれ2乗して加えると、交差項が相殺される。

$$\begin{aligned} B^2 + C^2 &= \left( -\frac{1}{2}\cos\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta \right)^2 + \left( -\frac{1}{2}\cos\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta \right)^2 \\ &= 2 \left( \frac{1}{4}\cos^2\theta + \frac{3}{4}\sin^2\theta \right) \\ &= \frac{1}{2}\cos^2\theta + \frac{3}{2}\sin^2\theta \end{aligned}$$

したがって、求める値は以下のようになる。

$$\begin{aligned} A^2 + B^2 + C^2 &= \cos^2\theta + \frac{1}{2}\cos^2\theta + \frac{3}{2}\sin^2\theta \\ &= \frac{3}{2}\cos^2\theta + \frac{3}{2}\sin^2\theta \\ &= \frac{3}{2}(\cos^2\theta + \sin^2\theta) \\ &= \frac{3}{2} \end{aligned}$$

(2)

求める式を通分すると以下のようになる。

$$\frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C} = \frac{BC + CA + AB}{ABC}$$

まず、$A + B + C$ を計算する。

$$A + B + C = \cos\theta + \left( -\frac{1}{2}\cos\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta \right) + \left( -\frac{1}{2}\cos\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta \right) = 0$$

これと (1) の結果を利用して、分子の $AB + BC + CA$ を求める。

$$AB + BC + CA = \frac{(A+B+C)^2 - (A^2+B^2+C^2)}{2} = \frac{0 - \frac{3}{2}}{2} = -\frac{3}{4}$$

次に、分母の $ABC$ を求めるために、まず $BC$ を計算する。

$$\begin{aligned} BC &= \left( -\frac{1}{2}\cos\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta \right) \left( -\frac{1}{2}\cos\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta \right) \\ &= \frac{1}{4}\cos^2\theta - \frac{3}{4}\sin^2\theta \\ &= \frac{1}{4}\cos^2\theta - \frac{3}{4}(1 - \cos^2\theta) \\ &= \cos^2\theta - \frac{3}{4} \end{aligned}$$

よって、$ABC$ は次のようになる。

$$ABC = A(BC) = \cos\theta \left( \cos^2\theta - \frac{3}{4} \right) = \frac{4\cos^3\theta - 3\cos\theta}{4}$$

ここで、分子の $4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ は $\cos 3\theta$ の3倍角の公式の展開形であるため、$\alpha = \cos(3\theta)$ を用いて表すことができる。

$$ABC = \frac{\cos(3\theta)}{4} = \frac{\alpha}{4}$$

以上より、求める式の値は以下の通りとなる。

$$\frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C} = \frac{-\frac{3}{4}}{\frac{\alpha}{4}} = -\frac{3}{\alpha}$$

解法2

$t = \cos x$ とおく。3倍角の公式 $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ より、以下の式が成り立つ。

$$\cos 3x = 4t^3 - 3t$$

ここで、$\cos 3x = \alpha$（ただし $\alpha = \cos 3\theta$）とすると、$t$ は以下の3次方程式を満たす。

$$4t^3 - 3t - \alpha = 0$$

方程式 $\cos 3x = \cos 3\theta$ を満たす $x$ は、整数 $k$ を用いて以下のように表される。

$$3x = \pm 3\theta + 2k\pi$$

$$x = \pm \theta + \frac{2}{3}k\pi$$

このうち、$k=0, 1, 2$ に対応する $x = \theta, \theta + \frac{2}{3}\pi, \theta - \frac{2}{3}\pi$ を考えると、これらに対応する $t$ の値はそれぞれ $\cos\theta, \cos\left(\theta + \frac{2}{3}\pi\right), \cos\left(\theta - \frac{2}{3}\pi\right)$ であり、これらはちょうど問題文で定義された $A, B, C$ に一致する。

すなわち、$A, B, C$ は $t$ についての3次方程式 $4t^3 - 3t - \alpha = 0$ の3つの解である。 3次方程式の解と係数の関係より、以下の等式が成り立つ。

$$\begin{cases} A + B + C = 0 \\ AB + BC + CA = -\frac{3}{4} \\ ABC = \frac{\alpha}{4} \end{cases}$$

(1)

式の展開公式を用いて、求める値を計算する。

$$A^2 + B^2 + C^2 = (A + B + C)^2 - 2(AB + BC + CA) = 0^2 - 2\left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{3}{2}$$

(2)

通分して、解と係数の関係から得られた値を代入する。

$$\frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C} = \frac{AB + BC + CA}{ABC} = \frac{-\frac{3}{4}}{\frac{\alpha}{4}} = -\frac{3}{\alpha}$$

解説

加法定理を利用した力技の計算でも完答できるが、計算量がやや多くなるため符号ミスなどに注意が必要である。

一方、解法2で示した「3次方程式の解と係数の関係」を用いるアプローチは、角が $\frac{2\pi}{3}$ ずつ等間隔に配置されていることと、3倍角の公式が背景にあることに気づけば非常に見通しが良い。このような、複数の三角関数の値を方程式の解とみなす手法は、難関大学の入試においてしばしば登場する重要テーマであるため、ぜひ習得しておきたい。

答え

(1) $\frac{3}{2}$

(2) $-\frac{3}{\alpha}$