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数学2 三角関数問題 10 解説

方針・初手

2倍角の公式（半角の公式の逆）を用いて根号の中身を平方の形に変形し、根号を外すのが第一歩である。その際、$\sqrt{A^2} = |A|$ となることに注意して式を整理する。その後は、左辺の符号に着目して場合分けを行う。左辺が0以下の場合は右辺の絶対値が0以上であるため不等式は常に成立する。左辺が正の場合（かつ右辺も正）は、両辺を2乗して同値変形を行うと簡明に解き進めることができる。

解法1

半角の公式より、

$$1+\cos 2x = 2\cos^2 x$$

$$1-\cos 2x = 2\sin^2 x$$

これらを与えられた不等式に代入すると、

$$2\sin x \leqq \left| \sqrt{2\cos^2 x} - \sqrt{2\sin^2 x} \right|$$

ここで、$\sqrt{A^2} = |A|$ であるから、

$$2\sin x \leqq \sqrt{2} \left| |\cos x| - |\sin x| \right|$$

両辺を $\sqrt{2}$ で割り、次のように変形する。

$$\sqrt{2}\sin x \leqq \left| |\cos x| - |\sin x| \right| \quad \cdots (*)$$

(i) $\pi \leqq x \leqq 2\pi$ のとき

$\sin x \leqq 0$ であるから、$(*)$ の左辺は0以下となる。一方、右辺は絶対値であるため常に0以上である。したがって、この範囲では $(*)$ は常に成り立つ。

(ii) $0 \leqq x < \pi$ のとき

この範囲では $\sin x \geqq 0$ であるから、$(*)$ の両辺はともに0以上となる。したがって、両辺を2乗しても同値である。

$$2\sin^2 x \leqq \left( |\cos x| - |\sin x| \right)^2$$

$$2\sin^2 x \leqq \cos^2 x - 2|\sin x \cos x| + \sin^2 x$$

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ および $2\sin x \cos x = \sin 2x$ を用いると、

$$2\sin^2 x \leqq 1 - |\sin 2x|$$

$$|\sin 2x| \leqq 1 - 2\sin^2 x$$

ここで、$1 - 2\sin^2 x = \cos 2x$ であるから、

$$|\sin 2x| \leqq \cos 2x \quad \cdots (**)$$

絶対値は0以上であるから、$()$ が成り立つためには $\cos 2x \geqq 0$ であることが必要である。 $0 \leqq x < \pi$ より $0 \leqq 2x < 2\pi$ であり、$\cos 2x \geqq 0$ となる範囲は、

$$0 \leqq 2x \leqq \frac{\pi}{2}, \quad \frac{3\pi}{2} \leqq 2x < 2\pi$$

すなわち、

$$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}, \quad \frac{3\pi}{4} \leqq x < \pi$$

(ア) $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$ のとき

$0 \leqq 2x \leqq \frac{\pi}{2}$ より $\sin 2x \geqq 0$ であるから、$()$ の絶対値をそのまま外し、

$$\sin 2x \leqq \cos 2x$$

$2x = \frac{\pi}{2}$ のとき $\cos 2x = 0, \sin 2x = 1$ となり不成立であるから、$\cos 2x > 0$ としてよい。両辺を $\cos 2x$ で割ると、

$$\tan 2x \leqq 1$$

$0 \leqq 2x < \frac{\pi}{2}$ においてこれを解くと、

$$0 \leqq 2x \leqq \frac{\pi}{4}$$

$$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{8}$$

(イ) $\frac{3\pi}{4} \leqq x < \pi$ のとき

$\frac{3\pi}{2} \leqq 2x < 2\pi$ より $\sin 2x \leqq 0$ であるから、$()$ は

$$-\sin 2x \leqq \cos 2x$$

$2x = \frac{3\pi}{2}$ のとき $\cos 2x = 0, \sin 2x = -1$ となり不成立であるから、$\cos 2x > 0$ としてよい。両辺を $\cos 2x$ で割ると、

$$-\tan 2x \leqq 1$$

$$\tan 2x \geqq -1$$

$\frac{3\pi}{2} < 2x < 2\pi$ においてこれを解くと、

$$\frac{7\pi}{4} \leqq 2x < 2\pi$$

$$\frac{7\pi}{8} \leqq x < \pi$$

以上より、(i), (ii) を合わせて、求める $x$ の範囲は

$$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{8}, \quad \frac{7\pi}{8} \leqq x \leqq 2\pi$$

解法2

絶対値記号の中身の符号を調べ、場合分けによって外していく方法。解法1と同様に変形し、以下の不等式を得る。

$$\sqrt{2}\sin x \leqq \left| |\cos x| - |\sin x| \right| \quad \cdots (*)$$

(i) $\pi \leqq x \leqq 2\pi$ のとき

$\sin x \leqq 0$ より $(*)$ の左辺は0以下、右辺は0以上であるから常に成立する。

(ii) $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ のとき

$\sin x \geqq 0, \cos x \geqq 0$ であるから、

$$(*) \iff \sqrt{2}\sin x \leqq |\cos x - \sin x|$$

(ア) $\cos x - \sin x \geqq 0$ すなわち $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$ のとき

$$\sqrt{2}\sin x \leqq \cos x - \sin x$$

$$(\sqrt{2}+1)\sin x \leqq \cos x$$

両辺を $\cos x (>0)$ で割ると、

$$\tan x \leqq \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \sqrt{2}-1$$

ここで $\tan \frac{\pi}{8} = \frac{\sin \frac{\pi}{4}}{1+\cos \frac{\pi}{4}} = \sqrt{2}-1$ であるから、

$$\tan x \leqq \tan \frac{\pi}{8}$$

$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$ より、これを満たす範囲は

$$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{8}$$

(イ) $\cos x - \sin x < 0$ すなわち $\frac{\pi}{4} < x \leqq \frac{\pi}{2}$ のとき

$$\sqrt{2}\sin x \leqq -(\cos x - \sin x)$$

$$(\sqrt{2}-1)\sin x \leqq -\cos x$$

この範囲では $\sin x > 0, \cos x \geqq 0$ であるから、左辺は正、右辺は0以下となり不成立。

(iii) $\frac{\pi}{2} < x < \pi$ のとき

$\sin x > 0, \cos x < 0$ であるから、

$$(*) \iff \sqrt{2}\sin x \leqq |-\cos x - \sin x| = |\cos x + \sin x|$$

(ウ) $\cos x + \sin x \geqq 0$ すなわち $\frac{\pi}{2} < x \leqq \frac{3\pi}{4}$ のとき

$$\sqrt{2}\sin x \leqq \cos x + \sin x$$

$$(\sqrt{2}-1)\sin x \leqq \cos x$$

この範囲では左辺は正、右辺は0以下となり不成立。

(エ) $\cos x + \sin x < 0$ すなわち $\frac{3\pi}{4} < x < \pi$ のとき

$$\sqrt{2}\sin x \leqq -(\cos x + \sin x)$$

$$(\sqrt{2}+1)\sin x \leqq -\cos x$$

両辺を $-\cos x (>0)$ で割ると、

$$-(\sqrt{2}+1)\tan x \leqq 1$$

$$\tan x \geqq 1-\sqrt{2}$$

$\tan \frac{7\pi}{8} = -\tan \frac{\pi}{8} = 1-\sqrt{2}$ であるから、

$$\tan x \geqq \tan \frac{7\pi}{8}$$

$\frac{3\pi}{4} < x < \pi$ より、これを満たす範囲は

$$\frac{7\pi}{8} \leqq x < \pi$$

以上、(i), (ii), (iii) の結果を合わせて、

$$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{8}, \quad \frac{7\pi}{8} \leqq x \leqq 2\pi$$

解説

2重根号を含む三角関数の不等式である。半角の公式の変形である $1+\cos 2x = 2\cos^2 x$ などの形は頻出なので、瞬時に根号を外す方針を立てられるようにしたい。その際、$\sqrt{A^2} = |A|$ の絶対値を忘れないことが重要である。解法1のように「両辺が正であれば2乗して比較しても同値」という性質を用いると、場合分けの負担を大きく減らすことができる。絶対値の中に絶対値が入る複雑な式において非常に有効な手段である。解法2での $\tan \frac{\pi}{8}$ の値は、半角の公式 $\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta}$ 等を利用して直接求めるとよい。