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数学2 三角関数問題 11 解説

方針・初手

与えられた式を $f(x)$ とおく。$f(x)$ がすべての実数 $x$ に対して一定の値をとるということは、$f(x)$ が $x$ に依存しない定数関数になるということである。

まずは加法定理を用いて与式を展開し、$\cos x$ と $\sin x$ について整理する。$A \cos x + B \sin x$ の形になるので、これが定数となるためには係数 $A, B$ がともに $0$ にならなければならないという恒等式の性質を利用する。あるいは、具体的な $x$ の値を代入して必要条件から $\alpha, \beta$ を絞り込み、最後に十分性を確認する方針でもよい。

解法1

与えられた式を $f(x)$ とおく。すなわち、

$$f(x) = \cos(x+\alpha) + \sin(x+\beta) + \sqrt{2} \cos x$$

加法定理を用いて展開し、$x$ について整理する。

$$\begin{aligned} f(x) &= (\cos x \cos \alpha - \sin x \sin \alpha) + (\sin x \cos \beta + \cos x \sin \beta) + \sqrt{2} \cos x \\ &= (\cos \alpha + \sin \beta + \sqrt{2}) \cos x + (-\sin \alpha + \cos \beta) \sin x \end{aligned}$$

関数 $f(x)$ がすべての実数 $x$ に対して一定の値をとるための必要十分条件は、$\cos x$ および $\sin x$ の係数がともに $0$ になることである。したがって、次の連立方程式が成り立つ。

$$\cos \alpha + \sin \beta + \sqrt{2} = 0 \cdots (1)$$

$$-\sin \alpha + \cos \beta = 0 \cdots (2)$$

(2) より、

$$\cos \beta = \sin \alpha$$

これを三角関数の相互関係 $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$ に代入すると、

$$\sin^2 \beta + \sin^2 \alpha = 1$$

$$\sin^2 \beta = 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$$

よって、$\sin \beta = \cos \alpha$ または $\sin \beta = -\cos \alpha$ となる。以下、場合分けを行う。

(i) $\sin \beta = \cos \alpha$ のとき

(1) に代入すると、

$$2\cos \alpha + \sqrt{2} = 0$$

$$\cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}$$

$0 < \alpha < 2\pi$ であるから、

$$\alpha = \frac{3}{4}\pi, \frac{5}{4}\pi$$

・$\alpha = \frac{3}{4}\pi$ のとき $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ である。(2) より $\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となり、この場合 $\sin \beta = \cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ である。$0 < \beta < 2\pi$ の範囲でこれらを満たすのは $\beta = \frac{7}{4}\pi$ である。

・$\alpha = \frac{5}{4}\pi$ のとき $\sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ である。(2) より $\cos \beta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ となり、この場合 $\sin \beta = \cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ である。$0 < \beta < 2\pi$ の範囲でこれらを満たすのは $\beta = \frac{5}{4}\pi$ である。

(ii) $\sin \beta = -\cos \alpha$ のとき

(1) に代入すると、

$$0 + \sqrt{2} = 0$$

となり、これは不合理である。したがって、これを満たす実数 $\alpha, \beta$ は存在しない。

以上より、求める $\alpha, \beta$ の組が得られる。

解法2

与式を $f(x) = \cos(x+\alpha) + \sin(x+\beta) + \sqrt{2} \cos x$ とおく。すべての実数 $x$ に対して $f(x)$ が一定になるので、定数 $C$ を用いて $f(x) = C$ とおける。

$x = 0, \pi$ を代入すると、

$$f(0) = \cos \alpha + \sin \beta + \sqrt{2} = C$$

$$f(\pi) = \cos(\pi+\alpha) + \sin(\pi+\beta) + \sqrt{2} \cos \pi = -\cos \alpha - \sin \beta - \sqrt{2} = -C$$

$f(0) = f(\pi)$ より $C = -C$ となるから、$C = 0$ を得る。したがって、すべての実数 $x$ について $f(x) = 0$ が成り立つことが必要である。

次に $x = 0, \frac{\pi}{2}$ を代入すると、

$$f(0) = \cos \alpha + \sin \beta + \sqrt{2} = 0 \cdots (3)$$

$$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2}+\beta\right) + \sqrt{2} \cos\frac{\pi}{2} = -\sin \alpha + \cos \beta = 0 \cdots (4)$$

これらは解法1における (1), (2) と全く同じ方程式である。同様に解くことで、$0 < \alpha < 2\pi, 0 < \beta < 2\pi$ における候補として以下の2組を得る。

$$(\alpha, \beta) = \left( \frac{3}{4}\pi, \frac{7}{4}\pi \right), \left( \frac{5}{4}\pi, \frac{5}{4}\pi \right)$$

これらは必要条件から導かれたものであるため、十分性を確認する。

・$(\alpha, \beta) = \left( \frac{3}{4}\pi, \frac{7}{4}\pi \right)$ のとき

$$\begin{aligned} f(x) &= \cos\left(x+\frac{3}{4}\pi\right) + \sin\left(x+\frac{7}{4}\pi\right) + \sqrt{2} \cos x \\ &= \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x \right) + \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x \right) + \sqrt{2} \cos x \\ &= -\sqrt{2} \cos x + \sqrt{2} \cos x = 0 \end{aligned}$$

よってすべての $x$ で一定となり、条件を満たす。

・$(\alpha, \beta) = \left( \frac{5}{4}\pi, \frac{5}{4}\pi \right)$ のとき

$$\begin{aligned} f(x) &= \cos\left(x+\frac{5}{4}\pi\right) + \sin\left(x+\frac{5}{4}\pi\right) + \sqrt{2} \cos x \\ &= \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x \right) + \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x \right) + \sqrt{2} \cos x \\ &= -\sqrt{2} \cos x + \sqrt{2} \cos x = 0 \end{aligned}$$

よってすべての $x$ で一定となり、条件を満たす。

以上により、求めた組はどちらも条件を満たす。

解説

「すべての $x$ で成り立つ」という条件から、関数の恒等式としての性質を利用する典型問題である。三角関数を含む式が定数となるためのアプローチとしては、加法定理で展開して $\sin x$ と $\cos x$ の係数を $0$ と置く方法（解法1）が最も素直である。また、必要条件から解の候補を絞り込むアプローチ（解法2）も強力であるが、この場合は最後に十分性の確認（得られた値を元の式に代入して、実際に定数になること）を記述することを忘れてはならない。連立方程式を解く過程で、三角関数の相互関係を正しく用いて符号の吟味を慎重に行うことが求められる。