数学2 三角関数 問題 12 解説

方針・初手

時刻 $t$ における動点 P, Q の座標をパラメータ $t$ を用いて表すことから始める。 P, Q 間の距離の2乗を計算し、三角関数の加法定理と倍角の公式を用いて $\cos t$ の2次関数に帰着させることで、最大値・最小値を求める。

解法1

時刻を $t$ とする。 点 P は原点中心、半径 $1$ の円 $C$ 上を点 $(1, 0)$ から反時計回りに角速度 $2$ で動くので、時刻 $t$ における偏角は $2t$ となる。したがって、P の座標は

$$\text{P}(\cos 2t, \sin 2t)$$

と表せる。

点 Q は点 $(4, 0)$ 中心、半径 $2$ の円 $D$ 上を点 $(6, 0)$ から反時計回りに角速度 $1$ で動く。出発点 $(6, 0)$ は円 $D$ の右端であるから、中心 $(4, 0)$ から見た時刻 $t$ における偏角は $t$ となる。したがって、Q の座標は

$$\text{Q}(4 + 2\cos t, 2\sin t)$$

と表せる。

P, Q 間の距離を $L$ とし、$L^2$ を計算する。

$$L^2 = (4 + 2\cos t - \cos 2t)^2 + (2\sin t - \sin 2t)^2$$

式を展開して整理する。

$$L^2 = 16 + 4\cos^2 t + \cos^2 2t + 16\cos t - 8\cos 2t - 4\cos t\cos 2t + 4\sin^2 t - 4\sin t\sin 2t + \sin^2 2t$$

$$= 16 + 4(\cos^2 t + \sin^2 t) + (\cos^2 2t + \sin^2 2t) + 16\cos t - 8\cos 2t - 4(\cos 2t\cos t + \sin 2t\sin t)$$

ここで、三角関数の加法定理 $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$ を用いると、

$$L^2 = 16 + 4 \cdot 1 + 1 + 16\cos t - 8\cos 2t - 4\cos(2t - t)$$

$$= 21 + 16\cos t - 8\cos 2t - 4\cos t$$

$$= 21 + 12\cos t - 8\cos 2t$$

さらに倍角の公式 $\cos 2t = 2\cos^2 t - 1$ を用いて、$\cos t$ のみの式に変形する。

$$L^2 = 21 + 12\cos t - 8(2\cos^2 t - 1)$$

$$= -16\cos^2 t + 12\cos t + 29$$

$x = \cos t$ とおくと、$-1 \leqq x \leqq 1$ である。$L^2$ を $x$ の関数 $f(x)$ とすると、

$$f(x) = -16x^2 + 12x + 29$$

平方完成を行うと、

$$f(x) = -16\left(x^2 - \frac{3}{4}x\right) + 29$$

$$= -16\left(x - \frac{3}{8}\right)^2 + 16 \cdot \frac{9}{64} + 29$$

$$= -16\left(x - \frac{3}{8}\right)^2 + \frac{9}{4} + \frac{116}{4}$$

$$= -16\left(x - \frac{3}{8}\right)^2 + \frac{125}{4}$$

$f(x)$ は $-1 \leqq x \leqq 1$ の範囲を動く。 $x = \frac{3}{8}$ のとき、最大値 $\frac{125}{4}$ をとる。 $x = -1$ のとき、最小値 $f(-1) = -16(-1)^2 + 12(-1) + 29 = 1$ をとる。 （端点 $x = 1$ のときは $f(1) = -16(1)^2 + 12(1) + 29 = 25$ であり、最小ではない）

$L \geqq 0$ であるから、$L$ の最大値・最小値は $L^2$ の最大値・最小値の正の平方根となる。 最大値は $\sqrt{\frac{125}{4}} = \frac{5\sqrt{5}}{2}$ 最小値は $\sqrt{1} = 1$

次に、最大値と最小値を与える P, Q の座標をそれぞれ求める。

(i) 距離が最大となるとき

$x = \cos t = \frac{3}{8}$ のときである。 このとき、$\sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1 - \frac{9}{64} = \frac{55}{64}$ より、$\sin t = \pm\frac{\sqrt{55}}{8}$ である。

点 P の座標は $(\cos 2t, \sin 2t)$ であり、

$$\cos 2t = 2\cos^2 t - 1 = 2 \left(\frac{3}{8}\right)^2 - 1 = \frac{9}{32} - 1 = -\frac{23}{32}$$

$$\sin 2t = 2\sin t\cos t = 2 \left(\pm\frac{\sqrt{55}}{8}\right) \frac{3}{8} = \pm\frac{3\sqrt{55}}{32}$$

よって、$\text{P} \left(-\frac{23}{32}, \pm\frac{3\sqrt{55}}{32}\right)$ （複号同順）である。

点 Q の座標は $(4 + 2\cos t, 2\sin t)$ であり、

$$4 + 2\cos t = 4 + 2 \cdot \frac{3}{8} = 4 + \frac{3}{4} = \frac{19}{4}$$

$$2\sin t = 2 \left(\pm\frac{\sqrt{55}}{8}\right) = \pm\frac{\sqrt{55}}{4}$$

よって、$\text{Q} \left(\frac{19}{4}, \pm\frac{\sqrt{55}}{4}\right)$ （複号同順）である。

(ii) 距離が最小となるとき

$x = \cos t = -1$ のときである。 このとき、$\sin t = 0$ であり、$\cos 2t = 2(-1)^2 - 1 = 1$、$\sin 2t = 0$ となる。

点 P の座標は $(1, 0)$ である。 点 Q の座標は $(4 + 2(-1), 0) = (2, 0)$ である。

解説

動点の座標をパラメータ（媒介変数）を用いて表す典型問題である。角速度 $\omega$ で円運動する点の偏角は $\omega t + \alpha$ と表せることを利用する。

距離の2乗を計算する際、項が多くなり複雑に見えるが、加法定理 $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$ を用いて $-4(\cos 2t\cos t + \sin 2t\sin t) = -4\cos(2t - t) = -4\cos t$ とまとめる工夫が計算を楽にするポイントである。その後は倍角の公式を用いて $\cos t$ のみの2次関数に帰着させればよい。

最大値を与える P, Q の座標を求める際、$\sin t$ が正負の2つの値をもつことに注意し、それぞれに対応する P, Q の組を正しく求める必要がある。

答え

最大値: $\frac{5\sqrt{5}}{2}$

最大値を与える座標: $\text{P}\left(-\frac{23}{32}, \frac{3\sqrt{55}}{32}\right), \text{Q}\left(\frac{19}{4}, \frac{\sqrt{55}}{4}\right)$ および $\text{P}\left(-\frac{23}{32}, -\frac{3\sqrt{55}}{32}\right), \text{Q}\left(\frac{19}{4}, -\frac{\sqrt{55}}{4}\right)$

最小値: $1$

最小値を与える座標: $\text{P}(1, 0), \text{Q}(2, 0)$