数学2 三角関数 問題 13 解説

方針・初手

与えられた不等式の左辺に現れる $\cos^3 x - \sin^3 x$ を因数分解すると、$\cos x - \sin x$ と $\sin x \cos x$ の式として表すことができる。そこで、$t = \cos x - \sin x$ とおき、左辺を $t$ の関数として表すことで、三角関数の不等式を $t$ についての整式の不等式に帰着させるのが定石である。

解法1

与えられた不等式の左辺を変形する。

$$\cos^3 x - \sin^3 x + \cos x - \sin x + \sin x \cos x$$

ここで、$\cos^3 x - \sin^3 x = (\cos x - \sin x)(\cos^2 x + \sin x \cos x + \sin^2 x) = (\cos x - \sin x)(1 + \sin x \cos x)$ であるから、左辺は次のように変形できる。

$$(\cos x - \sin x)(1 + \sin x \cos x) + (\cos x - \sin x) + \sin x \cos x$$

$$= (\cos x - \sin x)(2 + \sin x \cos x) + \sin x \cos x$$

ここで、$t = \cos x - \sin x$ とおく。三角関数の合成により、

$$t = \sqrt{2} \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$$

となるため、$t$ のとり得る値の範囲は以下のようになる。

$$-\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2}$$

また、$t = \cos x - \sin x$ の両辺を2乗すると、

$$t^2 = \cos^2 x - 2 \sin x \cos x + \sin^2 x = 1 - 2 \sin x \cos x$$

となる。これを $\sin x \cos x$ について解くと、

$$\sin x \cos x = \frac{1 - t^2}{2}$$

となる。これらを用いて、左辺の式を $t$ で表すと、

$$t \left( 2 + \frac{1 - t^2}{2} \right) + \frac{1 - t^2}{2} = \frac{t(5 - t^2) + 1 - t^2}{2} = \frac{-t^3 - t^2 + 5t + 1}{2}$$

となる。証明すべき不等式は、この値が $2$ 以下であること、すなわち、

$$\frac{-t^3 - t^2 + 5t + 1}{2} \leqq 2$$

である。両辺を2倍して整理すると、

$$-t^3 - t^2 + 5t + 1 \leqq 4$$

$$t^3 + t^2 - 5t + 3 \geqq 0$$

となる。この左辺を $g(t)$ とおく。$g(1) = 1 + 1 - 5 + 3 = 0$ であるから、因数定理より $g(t)$ は $t - 1$ を因数に持つ。組み立て除法などを用いて因数分解すると、

$$g(t) = (t - 1)(t^2 + 2t - 3) = (t - 1)^2 (t + 3)$$

となる。

ここで、$t$ の範囲は $-\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2}$ である。$-\sqrt{2} > -3$ であるため、この範囲において常に $t + 3 > 0$ である。また、実数の2乗は常に $0$ 以上であるから、$(t - 1)^2 \geqq 0$ である。

したがって、$-\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2}$ を満たす任意の $t$ において、

$$(t - 1)^2 (t + 3) \geqq 0$$

が成り立つ。よって、元の不等式は任意の $x$ に対して成り立つ。

なお、等号が成立するのは $t = 1$ のときである。すなわち、

$$\sqrt{2} \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 1$$

$$\cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

より、$x + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2n\pi$ （$n$ は整数）となり、$x = 2n\pi, -\frac{\pi}{2} + 2n\pi$ のときに等号が成立する。

解説

三角関数の式の形から、$t = \cos x - \sin x$ への置き換えを思いつけるかどうかが鍵となる問題である。このように置き換えた後は、必ず $t$ の変域を三角関数の合成を用いて確認することが重要である。その後は、帰着された整式の不等式を因数分解や微分法を用いて証明する流れとなる。本問は因数分解を用いて容易に符号を判定できる形に帰着できるため、式変形を丁寧に行えば確実に得点できる。

答え

証明は解法1に示した通りである。