トップ› 基礎問題› 数学2› 三角関数› 三角関数› 問題 14

数学2 三角関数問題 14 解説

方針・初手

(1)は、$\sin \alpha = \sin \beta$ が成り立つための角度 $\alpha, \beta$ の関係を単位円上の位置関係から考えるか、和と差の積の公式を用いて解くことができる。

(2)は、2倍角・3倍角の公式を用いて方程式を $\cos \theta$ のみで表す。$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $\cos \theta$ のとりうる値の範囲に注意し、2次方程式の解の配置問題（解の存在条件）に帰着させる。

解法1

(1)

$\sin 3\theta = \sin 2\theta$ が成り立つとき、一般角として考えると

$$3\theta = 2\theta + 2k\pi \quad \text{または} \quad 3\theta = \pi - 2\theta + 2k\pi \quad (k \text{ は整数})$$

が成り立つ。

$3\theta = 2\theta + 2k\pi$ のとき、$\theta = 2k\pi$ であるが、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ を満たす整数 $k$ は存在しない。

$3\theta = \pi - 2\theta + 2k\pi$ のとき、$5\theta = (2k + 1)\pi$ より

$$\theta = \frac{2k + 1}{5}\pi$$

となる。$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ を満たすためには

$$0 < \frac{2k + 1}{5} < \frac{1}{2}$$

$$0 < 2k + 1 < \frac{5}{2}$$

であり、これを満たす整数 $k$ は $k = 0$ のみである。

よって

$$\theta = \frac{\pi}{5}$$

(2)

与えられた方程式に2倍角・3倍角の公式を適用する。

$$\sin 3\theta = m \sin 2\theta + n \sin \theta$$

$$3\sin \theta - 4\sin^3 \theta = 2m \sin \theta \cos \theta + n \sin \theta$$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $\sin \theta > 0$ であるから、両辺を $\sin \theta$ で割って整理することができる。

$$3 - 4\sin^2 \theta = 2m \cos \theta + n$$

$$3 - 4(1 - \cos^2 \theta) = 2m \cos \theta + n$$

$$4\cos^2 \theta - 2m \cos \theta - (n + 1) = 0$$

ここで $x = \cos \theta$ とおくと、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $0 < x < 1$ である。方程式は

$$4x^2 - 2mx - (n + 1) = 0$$

となる。左辺を $f(x)$ とおく。

$n$ は0以上の整数であるから、$n + 1 \geqq 1 > 0$ となり、常に

$$f(0) = -(n + 1) < 0$$

が成り立つ。

$y = f(x)$ のグラフは下に凸の放物線であるため、$f(0) < 0$ であれば、$f(x) = 0$ は $x > 0$ の範囲に必ずただ1つの実数解をもつ。この解が $0 < x < 1$ の範囲に含まれるための必要十分条件は

$$f(1) > 0$$

である。したがって

$$f(1) = 4 \cdot 1^2 - 2m \cdot 1 - (n + 1) = 3 - 2m - n > 0$$

$$2m + n < 3$$

$m, n$ は0以上の整数であるから、この不等式を満たす整数の組 $(m, n)$ を探す。

$m = 0$ のとき、$n < 3$ より $n = 0, 1, 2$
$m = 1$ のとき、$2 + n < 3$ すなわち $n < 1$ より $n = 0$
$m \geqq 2$ のとき、$2m + n \geqq 4$ となり不適。

よって、$(m, n) = (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0)$ の4組である。それぞれの組について、対応する $\theta$ を求める。

(i) $(m, n) = (0, 0)$ のとき

$f(x) = 4x^2 - 1 = 0$ より $x^2 = \frac{1}{4}$ である。$x > 0$ より $x = \frac{1}{2}$ となり、$\cos \theta = \frac{1}{2}$ であるから $\theta = \frac{\pi}{3}$ となる。

(ii) $(m, n) = (0, 1)$ のとき

$f(x) = 4x^2 - 2 = 0$ より $x^2 = \frac{1}{2}$ である。$x > 0$ より $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となり、$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ であるから $\theta = \frac{\pi}{4}$ となる。

(iii) $(m, n) = (0, 2)$ のとき

$f(x) = 4x^2 - 3 = 0$ より $x^2 = \frac{3}{4}$ である。$x > 0$ より $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となり、$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であるから $\theta = \frac{\pi}{6}$ となる。

(iv) $(m, n) = (1, 0)$ のとき

元の与式 $\sin 3\theta = m \sin 2\theta + n \sin \theta$ に代入すると、方程式は

$$\sin 3\theta = \sin 2\theta$$

となる。これは(1)の方程式そのものであり、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ における解は(1)より $\theta = \frac{\pi}{5}$ である。

解説

(1)は、和積の公式 $\sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ を用いて $\sin 3\theta - \sin 2\theta = 0$ を変形し、$\cos\left(\frac{5\theta}{2}\right) = 0$ から導くことも可能である。

(2)では、三角方程式を $\cos \theta$ の2次方程式に帰着させ、解の配置問題として処理する定石の手法が問われている。$f(0) < 0$ が自動的に満たされることに気づけば、$f(1) > 0$ のみを調べればよく、計算量が大幅に軽減される。また、場合分けの最後で(1)の結果がそのまま利用できるという、誘導の美しい構成になっている。