数学2 三角関数 問題 15 解説

方針・初手

方程式 $f(x)=2$ が解をもつ条件は、$\sin x$ のとりうる値の範囲から考える。$x$ について特に制限がないため、すべての実数を動くときの $-1 \leqq \sin x \leqq 1$ を用いる。 後半は、$\sin x$ の最大値が $1$ であることと、$0 \leqq a < \frac{\pi}{2}$ において $\cos a > 0$ であることから、$f(x)$ の最大値 $M(a)$ を具体的に $a$ を用いて表し、与えられた不等式を解く。

解法1

方程式 $f(x)=2$ は、与えられた式より以下のように変形できる。

$$\frac{\sin x}{\cos a} = 2$$

$$\sin x = 2\cos a$$

$x$ はすべての実数をとるので、$\sin x$ のとりうる値の範囲は $-1 \leqq \sin x \leqq 1$ である。 したがって、与えられた方程式が解をもつための条件は、

$$-1 \leqq 2\cos a \leqq 1$$

$$-\frac{1}{2} \leqq \cos a \leqq \frac{1}{2}$$

ここで、$a$ のとりうる範囲は $0 \leqq a < \frac{\pi}{2}$ であり、この範囲において $0 < \cos a \leqq 1$ であるから、共通範囲をとって

$$0 < \cos a \leqq \frac{1}{2}$$

これを満たす $a$ の範囲を求めると、

$$\frac{\pi}{3} \leqq a < \frac{\pi}{2}$$

となる。これが [ア] である。

次に、$f(x)$ の最大値 $M(a)$ について考える。 $0 \leqq a < \frac{\pi}{2}$ において $\cos a > 0$ であり、$x$ がすべての実数を動くとき $\sin x$ の最大値は $1$ である。 したがって、$f(x) = \frac{\sin x}{\cos a}$ の最大値 $M(a)$ は

$$M(a) = \frac{1}{\cos a}$$

となる。 条件 $\frac{2}{\sqrt{3}} \leqq M(a) \leqq 2$ より、

$$\frac{2}{\sqrt{3}} \leqq \frac{1}{\cos a} \leqq 2$$

各辺はすべて正であるから、逆数をとると不等号の向きが反転し、

$$\frac{1}{2} \leqq \cos a \leqq \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$0 \leqq a < \frac{\pi}{2}$ の範囲において、これを満たす $a$ の範囲を求めると、

$$\frac{\pi}{6} \leqq a \leqq \frac{\pi}{3}$$

となる。これが [イ] である。

解説

三角関数の値域と方程式の解の存在条件に関する基本的な問題である。$x$ の変域に制限がないため、$\sin x$ の値域は $-1 \leqq \sin x \leqq 1$ として扱う。 $a$ の定義域が $0 \leqq a < \frac{\pi}{2}$ に制限されているため、$\cos a$ の値域や符号に注意して不等式を解く必要がある。最大値 $M(a)$ の条件から $a$ の範囲を求める際、各辺が同符号（ここでは正）であることを確認してから逆数をとる操作がポイントとなる。

答え

[ア] $\frac{\pi}{3} \leqq a < \frac{\pi}{2}$

[イ] $\frac{\pi}{6} \leqq a \leqq \frac{\pi}{3}$