数学2 三角関数 問題 16 解説

方針・初手

(1) は、三角関数の合成を用いて $a$ のとりうる値の範囲を求める。

(2) は、$l_\theta$ の方程式を $a$ の方程式に書き換える。直線が通る点 $(x, y)$ の条件は、(1) で求めた $a$ のとりうる範囲に実数 $a$ が存在することである。これを順像法（$x$ を固定して $a$ を動かしたときの $y$ のとりうる範囲を求める方法）や逆像法（$a$ の2次方程式が指定された範囲に解をもつ条件を求める方法）を用いて処理する。

解法1

(1)

$a = \cos\theta + \sin\theta$ を三角関数の合成により変形する。

$$a = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$$

$\theta$ は $0 \leqq \theta \leqq \frac{3}{4}\pi$ をみたすので、

$$\frac{\pi}{4} \leqq \theta + \frac{\pi}{4} \leqq \pi$$

この範囲において、正弦関数のとりうる値の範囲は、

$$0 \leqq \sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) \leqq 1$$

したがって、$a$ の値の範囲は、

$$0 \leqq a \leqq \sqrt{2}$$

(2)

(1) より、$a^2 = (\cos\theta + \sin\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta = 1 + \sin 2\theta$ であるから、

$$\sin 2\theta = a^2 - 1$$

これを直線 $l_\theta$ の方程式に代入すると、

$$y = 2ax - 1 - (a^2 - 1)$$

整理して、

$$y = -a^2 + 2ax$$

点 $(x, y)$ が領域 D に含まれる条件は、$x$ を固定し、$a$ が $0 \leqq a \leqq \sqrt{2}$ の範囲を動くときの $y$ のとりうる値の範囲にその点が含まれることである。 $y$ を $a$ の関数とみて、

$$y = -(a - x)^2 + x^2 \quad (0 \leqq a \leqq \sqrt{2})$$

とする。この関数は $a=x$ を軸とする上に凸の放物線を表す。軸 $a=x$ と定義域 $0 \leqq a \leqq \sqrt{2}$ の位置関係で場合分けを行う。

(i) $x < 0$ のとき

区間 $0 \leqq a \leqq \sqrt{2}$ において $y$ は単調減少する。 最大値は $a=0$ のとき $y=0$、最小値は $a=\sqrt{2}$ のとき $y = -2 + 2\sqrt{2}x$ となる。 したがって、

$$2\sqrt{2}x - 2 \leqq y \leqq 0$$

(ii) $0 \leqq x \leqq \sqrt{2}$ のとき

区間内に軸 $a=x$ が含まれるため、最大値は $a=x$ のとき $y=x^2$ となる。 最小値は、区間の両端 $a=0, \sqrt{2}$ での $y$ の値のうち小さくない方となる。 $a=0$ のとき $y=0$、$a=\sqrt{2}$ のとき $y = 2\sqrt{2}x - 2$ である。 $0 \geqq 2\sqrt{2}x - 2$ すなわち $x \leqq \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、最小値は $2\sqrt{2}x - 2$ となる。 $0 < 2\sqrt{2}x - 2$ すなわち $x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、最小値は $0$ となる。 したがって、 $0 \leqq x \leqq \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、

$$2\sqrt{2}x - 2 \leqq y \leqq x^2$$

$\frac{\sqrt{2}}{2} < x \leqq \sqrt{2}$ のとき、

$$0 \leqq y \leqq x^2$$

(iii) $\sqrt{2} < x$ のとき

区間 $0 \leqq a \leqq \sqrt{2}$ において $y$ は単調増加する。 最大値は $a=\sqrt{2}$ のとき $y = 2\sqrt{2}x - 2$、最小値は $a=0$ のとき $y=0$ となる。 したがって、

$$0 \leqq y \leqq 2\sqrt{2}x - 2$$

解法2

(2) の別解として、逆像法（解の配置問題）を用いる。 直線 $l_\theta$ が点 $(x, y)$ を通る条件は、$a$ の2次方程式

$$a^2 - 2xa + y = 0$$

が $0 \leqq a \leqq \sqrt{2}$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもつことである。 $f(a) = a^2 - 2xa + y$ とおくと、

$$f(a) = (a - x)^2 - x^2 + y$$

放物線 $Y = f(a)$ の軸は $a=x$ である。

(A) $0 \leqq x \leqq \sqrt{2}$ のとき

区間 $0 \leqq a \leqq \sqrt{2}$ 内に軸がある。少なくとも1つの解をもつ条件は、頂点の $Y$ 座標が $0$ 以下であり、かつ区間の両端における $f(a)$ の最大値が $0$ 以上であることである。 頂点の条件から、

$$-x^2 + y \leqq 0 \iff y \leqq x^2$$

端点の条件について、$f(0) = y$、$f(\sqrt{2}) = 2 - 2\sqrt{2}x + y$ のうち大きい方が $0$ 以上であればよいので、

$$y \geqq 0 \quad \text{または} \quad y \geqq 2\sqrt{2}x - 2$$

これをまとめると、$x \leqq \frac{\sqrt{2}}{2}$ のときは $2\sqrt{2}x - 2 \leqq y \leqq x^2$、$\frac{\sqrt{2}}{2} < x \leqq \sqrt{2}$ のときは $0 \leqq y \leqq x^2$ となる。

(B) $x < 0$ のとき

軸は区間の左外にあるため、区間内で $f(a)$ は単調増加する。解をもつ条件は、

$$f(0) \leqq 0 \quad \text{かつ} \quad f(\sqrt{2}) \geqq 0$$

すなわち、$y \leqq 0$ かつ $y - 2\sqrt{2}x + 2 \geqq 0$ より、

$$2\sqrt{2}x - 2 \leqq y \leqq 0$$

(C) $x > \sqrt{2}$ のとき

軸は区間の右外にあるため、区間内で $f(a)$ は単調減少する。解をもつ条件は、

$$f(0) \geqq 0 \quad \text{かつ} \quad f(\sqrt{2}) \leqq 0$$

すなわち、$y \geqq 0$ かつ $y - 2\sqrt{2}x + 2 \leqq 0$ より、

$$0 \leqq y \leqq 2\sqrt{2}x - 2$$

以上により、解法1と同じ不等式が得られる。

解説

通過領域を求める代表的な問題である。文字定数 $a$ についての方程式とみなし、順像法または逆像法のいずれかで処理するのが定石となる。 本問では $a$ の係数に $x$ が含まれるため、逆像法（解の配置問題）を採用すると軸の位置で場合分けが発生し、記述量が多くなりやすい。解法1のような順像法（関数の値域を考える方法）を用いると、放物線の頂点と端点の関係を調べるだけで済むため、比較的ミスが少なく処理できる。 図示する際は、境界となる直線と放物線が接していること（接点の座標）や、直線の交点を明確に計算し、図に反映させることが重要である。

答え

(1)

$$0 \leqq a \leqq \sqrt{2}$$

(2)

点 $(x, y)$ の存在範囲は以下の不等式を満たす領域である。

$x \leqq 0$ のとき： $2\sqrt{2}x - 2 \leqq y \leqq 0$

$0 < x \leqq \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき： $2\sqrt{2}x - 2 \leqq y \leqq x^2$

$\frac{\sqrt{2}}{2} < x \leqq \sqrt{2}$ のとき： $0 \leqq y \leqq x^2$

$\sqrt{2} < x$ のとき： $0 \leqq y \leqq 2\sqrt{2}x - 2$

領域 D は上記を満たす範囲であり、境界線上の点を含む。

図示上の特徴として、放物線 $y = x^2$ と直線 $y = 0$ は原点 $(0,0)$ で接し、放物線 $y = x^2$ と直線 $y = 2\sqrt{2}x - 2$ は点 $(\sqrt{2}, 2)$ で接する。また、直線 $y = 0$ と直線 $y = 2\sqrt{2}x - 2$ は点 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)$ で交わる。