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数学2 三角関数問題 17 解説

方針・初手

(1)は、問題文の指示通りに三角関数の加法定理（$\sin(2\theta+\theta)$として展開）またはド・モアブルの定理のいずれかを利用して導出する。

(2)は、$\theta=18^\circ$という具体的な値から、$5\theta=90^\circ$となる関係を見抜き、$2\theta$と$3\theta$を結びつける。

(3)は、(2)の等式を(1)の3倍角の公式と2倍角の公式を用いて$\sin\theta$だけの方程式に書き換え、$\sin 18^\circ$のとりうる値の範囲に注意しながら解を絞り込む。

解法1

(1)

加法定理を用いる。$\sin 3\theta = \sin(2\theta + \theta)$ と変形し、加法定理を適用する。

$$\sin 3\theta = \sin 2\theta \cos \theta + \cos 2\theta \sin \theta$$

ここで、2倍角の公式 $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ および $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ を代入する。

$$\begin{aligned} \sin 3\theta &= (2\sin\theta\cos\theta)\cos\theta + (1 - 2\sin^2\theta)\sin\theta \\ &= 2\sin\theta\cos^2\theta + \sin\theta - 2\sin^3\theta \end{aligned}$$

さらに $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を用いる。

$$\begin{aligned} \sin 3\theta &= 2\sin\theta(1 - \sin^2\theta) + \sin\theta - 2\sin^3\theta \\ &= 2\sin\theta - 2\sin^3\theta + \sin\theta - 2\sin^3\theta \\ &= 3\sin\theta - 4\sin^3\theta \end{aligned}$$

したがって、等式が成り立つことが証明された。

(2)

$\theta = 18^\circ$ のとき、$5\theta = 90^\circ$ である。

これを $2\theta + 3\theta = 90^\circ$ と変形し、移項して $2\theta = 90^\circ - 3\theta$ を得る。

両辺のコサインをとると、以下のようになる。

$$\cos 2\theta = \cos(90^\circ - 3\theta)$$

三角関数の性質 $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$ より、右辺は $\sin 3\theta$ となる。

$$\cos 2\theta = \sin 3\theta$$

したがって、等式が成り立つことが示された。

(3)

(2)で示した等式 $\cos 2\theta = \sin 3\theta$ に、$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ と (1)で証明した $\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ を代入する。

$$1 - 2\sin^2\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$$

整理して、$\sin\theta$ についての3次方程式を得る。

$$4\sin^3\theta - 2\sin^2\theta - 3\sin\theta + 1 = 0$$

ここで、$x = \sin 18^\circ$ とおくと、方程式は以下のようになる。

$$4x^3 - 2x^2 - 3x + 1 = 0$$

因数定理を用いると、$x=1$ のときに左辺は $4 - 2 - 3 + 1 = 0$ となるため、左辺は $(x - 1)$ を因数にもつ。

左辺を因数分解する。

$$(x - 1)(4x^2 + 2x - 1) = 0$$

したがって、$x = 1$ または $4x^2 + 2x - 1 = 0$ である。

2次方程式 $4x^2 + 2x - 1 = 0$ を解くと、解の公式より以下のようになる。

$$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot (-1)}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}$$

ここで、$x = \sin 18^\circ$ のとりうる範囲を考える。

$0^\circ < 18^\circ < 30^\circ$ であるから、$0 < \sin 18^\circ < \frac{1}{2}$ すなわち $0 < x < \frac{1}{2}$ を満たす必要がある。

$x = 1$ と $x = \frac{-1 - \sqrt{5}}{4} (< 0)$ はこの条件を満たさない。

また、$\sqrt{5}$ はおよそ $2.236$ であるから、$\frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$ は正であり、$\frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$ より小さい。

よって、$0 < x < \frac{1}{2}$ を満たすのは $x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$ のみである。

したがって、求める値は以下の通りである。

$$\sin 18^\circ = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$$

解法2

(1)

ド・モアブルの定理を用いる。

$$(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos 3\theta + i\sin 3\theta \quad \text{($i$ は虚数単位)}$$

一方で、左辺を二項定理を用いて展開する。

$$\begin{aligned} (\cos\theta + i\sin\theta)^3 &= \cos^3\theta + 3\cos^2\theta(i\sin\theta) + 3\cos\theta(i\sin\theta)^2 + (i\sin\theta)^3 \\ &= \cos^3\theta + 3i\cos^2\theta\sin\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta - i\sin^3\theta \\ &= (\cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta) + i(3\cos^2\theta\sin\theta - \sin^3\theta) \end{aligned}$$

ド・モアブルの定理による式と展開式の虚部を比較する。

$$\sin 3\theta = 3\cos^2\theta\sin\theta - \sin^3\theta$$

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を代入して整理する。

$$\begin{aligned} \sin 3\theta &= 3(1 - \sin^2\theta)\sin\theta - \sin^3\theta \\ &= 3\sin\theta - 3\sin^3\theta - \sin^3\theta \\ &= 3\sin\theta - 4\sin^3\theta \end{aligned}$$

したがって、等式が成り立つことが証明された。

(2) および (3) の解法は解法1と同様である。