数学2 三角関数 問題 18 解説

方針・初手

与式に含まれる $\sin\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right)$ を加法定理を用いて展開し、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の式に直す。その後、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の1次式を三角関数の合成を用いて1つの三角関数にまとめ、不等式を解く。

解法1

加法定理より、

$$\sin\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\theta\cos\frac{\pi}{6} + \cos\theta\sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta + \frac{1}{2}\cos\theta$$

これを与えられた不等式に代入すると、

$$\cos\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta + \frac{1}{2}\cos\theta > 0$$

整理すると、

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta + \frac{3}{2}\cos\theta > 0$$

両辺に $\frac{2}{\sqrt{3}}$ を掛けて整理すると、

$$\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta > 0$$

左辺を三角関数の合成により変形する。

$$2\left(\frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta\right) > 0$$

$$2\sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) > 0$$

よって、

$$\sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) > 0$$

ここで、与えられた $\theta$ の範囲は $-\pi \leqq \theta < \pi$ であるから、$\theta + \frac{\pi}{3}$ のとり得る範囲は、

$$-\frac{2}{3}\pi \leqq \theta + \frac{\pi}{3} < \frac{4}{3}\pi$$

この範囲において、$\sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) > 0$ を満たす $\theta + \frac{\pi}{3}$ の範囲を求めると、

$$0 < \theta + \frac{\pi}{3} < \pi$$

辺々から $\frac{\pi}{3}$ を引いて、

$$-\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{2}{3}\pi$$

解法2

加法定理により展開し整理した式

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta + \frac{3}{2}\cos\theta > 0$$

において、$\cos$ についての合成を行う。

$$\frac{3}{2}\cos\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta > 0$$

両辺を $\sqrt{3}$ でくくると、

$$\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta + \frac{1}{2}\sin\theta\right) > 0$$

$$\sqrt{3}\left(\cos\theta\cos\frac{\pi}{6} + \sin\theta\sin\frac{\pi}{6}\right) > 0$$

加法定理より、

$$\sqrt{3}\cos\left(\theta - \frac{\pi}{6}\right) > 0$$

すなわち、

$$\cos\left(\theta - \frac{\pi}{6}\right) > 0$$

ここで、$-\pi \leqq \theta < \pi$ であるから、$\theta - \frac{\pi}{6}$ のとり得る範囲は、

$$-\frac{7}{6}\pi \leqq \theta - \frac{\pi}{6} < \frac{5}{6}\pi$$

この範囲において、$\cos\left(\theta - \frac{\pi}{6}\right) > 0$ を満たす $\theta - \frac{\pi}{6}$ の範囲を求めると、

$$-\frac{\pi}{2} < \theta - \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2}$$

辺々に $\frac{\pi}{6}$ を足して、

$$-\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{2}{3}\pi$$

解説

三角関数を含む不等式の基本問題である。角がずれている項がある場合は、まず加法定理を用いて角を $\theta$ に統一する。その後、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の1次式の和の形になるため、三角関数の合成を行って1種類の三角関数にまとめるという手順を踏む。合成後の角の変域に注意して解を求めることが重要である。解法1のように $\sin$ で合成するのが一般的であるが、解法2のように $\cos$ で合成しても同様に解くことができる。

答え

$$-\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{2}{3}\pi$$