数学2 三角関数 問題 19 解説

方針・初手

(1) は、与えられた2つの式をそれぞれ両辺2乗して辺々加えることで、加法定理 $\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$ の形を作り出す定番の処理を行う。

(2) は、右辺を加法定理で展開し、式を整理して左辺の形を導くのがスムーズである。

(3) は、(2) の結果に $x=\alpha, y=\beta$ を代入して利用する。左辺 $\cos 2\alpha + \cos 2\beta$ を、与えられた条件式の2乗の形から計算することで、$\cos(\alpha+\beta)$ についての1次方程式を立てることができる。また、与式に直接「和を積に直す公式」を適用することで、より簡潔に答えを求める別解も存在する。

解法1

(1)

与えられた式 $\cos \alpha + \cos \beta = \frac{1}{2}$ の両辺を2乗して展開する。

$$\cos^2 \alpha + 2\cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta = \frac{1}{4}$$

同様に、$\sin \alpha + \sin \beta = \frac{1}{3}$ の両辺を2乗して展開する。

$$\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta = \frac{1}{9}$$

これら2つの式の辺々を加える。$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ および $\cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1$ より、

$$(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta) + 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) = \frac{1}{4} + \frac{1}{9}$$

$$1 + 1 + 2\cos(\alpha - \beta) = \frac{13}{36}$$

これを $\cos(\alpha-\beta)$ について解く。

$$2\cos(\alpha - \beta) = \frac{13}{36} - 2 = -\frac{59}{36}$$

$$\cos(\alpha - \beta) = -\frac{59}{72}$$

(2)

右辺の加法定理を展開し、相互関係 $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ を用いて変形する。

$$\begin{aligned} 2\cos(x+y)\cos(x-y) &= 2(\cos x \cos y - \sin x \sin y)(\cos x \cos y + \sin x \sin y) \\ &= 2(\cos^2 x \cos^2 y - \sin^2 x \sin^2 y) \\ &= 2\{\cos^2 x \cos^2 y - (1 - \cos^2 x)(1 - \cos^2 y)\} \\ &= 2\{\cos^2 x \cos^2 y - (1 - \cos^2 x - \cos^2 y + \cos^2 x \cos^2 y)\} \\ &= 2(\cos^2 x + \cos^2 y - 1) \\ &= (2\cos^2 x - 1) + (2\cos^2 y - 1) \\ &= \cos 2x + \cos 2y \end{aligned}$$

したがって、$\cos 2x + \cos 2y = 2\cos(x+y)\cos(x-y)$ が成り立つ。

(3)

(2) で示した式に $x=\alpha, y=\beta$ を代入する。

$$\cos 2\alpha + \cos 2\beta = 2\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$$

この式の左辺に対して、倍角の公式 $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ を用いて変形する。

$$\begin{aligned} \cos 2\alpha + \cos 2\beta &= (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) + (\cos^2 \beta - \sin^2 \beta) \\ &= (\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta) - (\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta) \end{aligned}$$

(1) で得た2乗の式から、$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta = \frac{1}{4} - 2\cos \alpha \cos \beta$ および $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = \frac{1}{9} - 2\sin \alpha \sin \beta$ である。これらを代入する。

$$\begin{aligned} \cos 2\alpha + \cos 2\beta &= \left(\frac{1}{4} - 2\cos \alpha \cos \beta\right) - \left(\frac{1}{9} - 2\sin \alpha \sin \beta\right) \\ &= \frac{5}{36} - 2(\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) \\ &= \frac{5}{36} - 2\cos(\alpha+\beta) \end{aligned}$$

これを最初の式に代入し、(1) で求めた $\cos(\alpha-\beta) = -\frac{59}{72}$ を用いる。

$$\frac{5}{36} - 2\cos(\alpha+\beta) = 2\cos(\alpha+\beta) \cdot \left(-\frac{59}{72}\right)$$

$$\frac{5}{36} - 2\cos(\alpha+\beta) = -\frac{59}{36}\cos(\alpha+\beta)$$

$\cos(\alpha+\beta)$ の項を右辺にまとめる。

$$\frac{5}{36} = \left(2 - \frac{59}{36}\right)\cos(\alpha+\beta)$$

$$\frac{5}{36} = \frac{13}{36}\cos(\alpha+\beta)$$

よって、

$$\cos(\alpha+\beta) = \frac{5}{13}$$

解法2

(3) について、和積の公式を利用した別解を示す。

与えられた2つの条件式に和積の公式を適用する。

$$2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) = \frac{1}{2}$$

$$2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) = \frac{1}{3}$$

上の式より $\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \neq 0$ であることがわかるため、下の式を上の式で辺々割ることができる。

$$\tan\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}$$

求める値 $\cos(\alpha+\beta)$ は、$\theta = \frac{\alpha+\beta}{2}$ とすると $\cos 2\theta$ に該当する。これを $\tan$ を用いた式で表す。

$$\begin{aligned} \cos(\alpha+\beta) &= \cos^2\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \\ &= \frac{\cos^2\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{\cos^2\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)} \end{aligned}$$

分母と分子を $\cos^2\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$ で割る。

$$\begin{aligned} \cos(\alpha+\beta) &= \frac{1 - \tan^2\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{1 + \tan^2\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)} \\ &= \frac{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2}{1 + \left(\frac{2}{3}\right)^2} \\ &= \frac{1 - \frac{4}{9}}{1 + \frac{4}{9}} \\ &= \frac{\frac{5}{9}}{\frac{13}{9}} \\ &= \frac{5}{13} \end{aligned}$$

解説

三角関数の連立方程式から特定の値を求める典型的な問題である。(1) の「2乗して足す」という手技は、$\cos(\alpha-\beta)$ を生み出すための定石として確実に押さえておきたい。

(2) は「和積の公式」そのものの証明である。結果を知っていればすぐに答えが見えるが、「示せ」という問題である以上、右辺を加法定理で展開して左辺に帰着させるのが最も論理的な解答となる。

(3) は、出題者の誘導に忠実に従うのが解法1である。一方、与えられた式に和積の公式を適用して $\tan$ の値を直接導く解法2は、計算量が格段に少なくミスが起きにくい。実戦では、解法2のように柔軟に公式を使いこなす視点も持っておきたい。

答え

(1) $-\frac{59}{72}$

(2) 解説の通り

(3) $\frac{5}{13}$