数学2 三角関数 問題 20 解説

方針・初手

与えられた条件 $\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4}$ を利用して、式の値を求める。

(1) は、2倍角の公式 $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ を用いて直接計算する。

(2) は、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の6次および4次の同次式の計算である。解法として、式全体を因数分解して条件式を代入しやすくする方針と、2倍角の公式を用いて次数を下げていく方針が考えられる。

解法1

(1) 2倍角の公式より、

$$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$$

条件 $\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4}$ を代入して、

$$\sin 2\theta = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$$

(2) 与えられた式を $P$ とおく。

$$P = \cos^6 \theta - \sin^6 \theta - 15 \cos^4 \theta \sin^2 \theta + 15 \cos^2 \theta \sin^4 \theta$$

前半の2項と後半の2項をそれぞれ因数分解する。

$$\begin{aligned} P &= (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)(\cos^4 \theta + \cos^2 \theta \sin^2 \theta + \sin^4 \theta) - 15 \cos^2 \theta \sin^2 \theta (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) \\ &= (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) \{ (\cos^4 \theta + \cos^2 \theta \sin^2 \theta + \sin^4 \theta) - 15 \cos^2 \theta \sin^2 \theta \} \\ &= (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) \{ (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)^2 - \cos^2 \theta \sin^2 \theta - 15 \cos^2 \theta \sin^2 \theta \} \\ &= (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) \{ 1 - 16 (\sin \theta \cos \theta)^2 \} \end{aligned}$$

ここで、条件 $\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4}$ を代入すると、

$$1 - 16 (\sin \theta \cos \theta)^2 = 1 - 16 \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - 1 = 0$$

したがって、$P$ の値は $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ の値にかかわらず $0$ となる。

$$P = 0$$

解法2

(1) 解法1と同じ。

(2) 半角の公式（2倍角の公式の変形）を用いて、すべて $2\theta$ の式で表すことによる次数下げを行う。

$$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}, \quad \sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$$

計算を簡略化するため、$\cos 2\theta = t$ とおく。与式 $P$ は次のように書き換えられる。

$$P = \left( \frac{1+t}{2} \right)^3 - \left( \frac{1-t}{2} \right)^3 - 15 \left( \frac{1+t}{2} \right)^2 \left( \frac{1-t}{2} \right) + 15 \left( \frac{1+t}{2} \right) \left( \frac{1-t}{2} \right)^2$$

各項を展開して整理する。

$$\begin{aligned} P &= \frac{(1 + 3t + 3t^2 + t^3) - (1 - 3t + 3t^2 - t^3)}{8} - \frac{15(1-t^2)}{4} \left( \frac{1+t}{2} - \frac{1-t}{2} \right) \\ &= \frac{6t + 2t^3}{8} - \frac{15(1-t^2)}{4} \cdot t \\ &= \frac{3t + t^3}{4} - \frac{15t - 15t^3}{4} \\ &= \frac{16t^3 - 12t}{4} \\ &= 4t^3 - 3t \\ &= t(4t^2 - 3) \end{aligned}$$

$t$ を元の $\cos 2\theta$ に戻すと、

$$P = \cos 2\theta (4\cos^2 2\theta - 3)$$

(1) より $\sin 2\theta = \frac{1}{2}$ であり、$\sin^2 2\theta + \cos^2 2\theta = 1$ を用いると、

$$\cos^2 2\theta = 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{3}{4}$$

これを式に代入すると、かっこ内が $0$ になる。

$$P = \cos 2\theta \left( 4 \cdot \frac{3}{4} - 3 \right) = \cos 2\theta (3 - 3) = 0$$

解説

三角関数の高次式の扱い方を問う典型問題である。

解法1のように、式全体を俯瞰して $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ でくくり出す工夫に気づけば、非常に少ない計算量で解答にたどり着くことができる。対称式・交代式の性質に類似した因数分解の利用は、常に意識しておきたい手法である。

解法2は、三角関数の高次式に対する最も標準的なアプローチである「2倍角・半角の公式を用いた次数下げ」を実行したものである。計算量は増えるが、機械的な変形によって確実に答えを導くことができる。なお、解法2の途中で現れた $4\cos^3 2\theta - 3\cos 2\theta$ は $\cos 3(2\theta)$、すなわち $\cos 6\theta$ の展開式（3倍角の公式）そのものである。

答え

(1)

$\frac{1}{2}$

(2)

$0$