数学2 三角関数 問題 21 解説

方針・初手

三角比の相互関係 $1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ を用いて $\cos \theta$ を求め、次に $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を用いて $\sin \theta$ を求める。その際、与えられた角 $\theta$ の範囲から、各三角比の符号を正しく判定する。

解法1

三角比の相互関係 $1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ に $\tan \theta = a$ を代入する。

$$\frac{1}{\cos^2 \theta} = 1 + a^2$$

よって、$\cos^2 \theta$ は次のように表される。

$$\cos^2 \theta = \frac{1}{1 + a^2}$$

条件より $90^\circ < \theta < 180^\circ$ であるから、$\cos \theta < 0$ である。したがって、平方根をとって負の符号を選ぶ。

$$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}$$

次に、三角比の相互関係 $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を変形すると $\sin \theta = \tan \theta \cos \theta$ となる。これに $\tan \theta = a$ と先ほど求めた $\cos \theta$ を代入する。

$$\sin \theta = a \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{1 + a^2}} \right)$$

$$\sin \theta = -\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$$

解説

三角比の相互関係を用いて値を求める基本的な問題である。$\tan \theta$ が与えられている場合は、$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ を用いてまず $\cos \theta$ を求めるのが定石である。

式変形の途中で $\cos^2 \theta$ の平方根をとるため、$\theta$ の範囲から $\cos \theta$ の符号を判定する必要がある。$90^\circ < \theta < 180^\circ$（第2象限）においては、$\sin \theta > 0$、$\cos \theta < 0$、$\tan \theta < 0$ となる。

なお、求めた $\sin \theta$ の式 $-\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}$ について、$\theta$ の範囲より $\tan \theta = a < 0$ であるため、分子の $-a$ は正となる。これにより、$\sin \theta > 0$ となり符号の辻褄が合っていることが確認できる。

答え

$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}$

$\sin \theta = -\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$