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数学2 三角関数問題 22 解説

方針・初手

(1)は、与えられた等式 $\sin 2\theta = \cos 3\theta$ において、余角の公式を用いて両辺を $\sin$ （または $\cos$ ）に統一して解く。(2)は、倍角・3倍角の公式を用いて与式から $\sin \theta$ の方程式を導く。(3)は、(1)で求めた $\theta$ の値を代入し、余角の公式や倍角の公式を用いて式を簡単にしてから計算する。

解法1

(1)

与えられた等式 $\sin 2\theta = \cos 3\theta$ について、余角の公式 $\cos 3\theta = \sin(90^\circ - 3\theta)$ を用いると、

$$\sin 2\theta = \sin(90^\circ - 3\theta)$$

$0^\circ < \theta < 90^\circ$ より、$0^\circ < 2\theta < 180^\circ$ であり、$-180^\circ < 90^\circ - 3\theta < 90^\circ$ である。したがって、上の等式が成り立つためには、

$$2\theta = 90^\circ - 3\theta$$

または

$$2\theta = 180^\circ - (90^\circ - 3\theta)$$

のいずれかである。

(i) $2\theta = 90^\circ - 3\theta$ のとき

$$5\theta = 90^\circ$$

$$\theta = 18^\circ$$

これは $0^\circ < \theta < 90^\circ$ を満たす。

(ii) $2\theta = 180^\circ - (90^\circ - 3\theta)$ のとき

$$2\theta = 90^\circ + 3\theta$$

$$\theta = -90^\circ$$

これは $0^\circ < \theta < 90^\circ$ を満たさない。

(i), (ii) より、$\theta = 18^\circ$ である。

(2)

$\sin 2\theta = \cos 3\theta$ に2倍角・3倍角の公式を適用する。

$$2\sin\theta\cos\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$$

$$2\sin\theta\cos\theta = \cos\theta(4\cos^2\theta - 3)$$

$0^\circ < \theta < 90^\circ$ より $\cos\theta > 0$ であるから、両辺を $\cos\theta$ で割って、

$$2\sin\theta = 4\cos^2\theta - 3$$

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を代入して整理する。

$$2\sin\theta = 4(1 - \sin^2\theta) - 3$$

$$4\sin^2\theta + 2\sin\theta - 1 = 0$$

これを $\sin\theta$ についての2次方程式として解くと、

$$\sin\theta = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}$$

$0^\circ < \theta < 90^\circ$ より $\sin\theta > 0$ であるから、

$$\sin\theta = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$$

(3)

求める式を $P = \sin \theta \sin 2\theta \sin 3\theta \sin 4\theta$ とおく。(1)より $\theta = 18^\circ$ であるから、

$\sin 3\theta = \sin 54^\circ = \cos(90^\circ - 54^\circ) = \cos 36^\circ = \cos 2\theta$

$\sin 4\theta = \sin 72^\circ = \cos(90^\circ - 72^\circ) = \cos 18^\circ = \cos \theta$

これらを用いて $P$ を変形すると、

$$P = \sin\theta \sin 2\theta \cos 2\theta \cos\theta$$

$$P = (\sin\theta \cos\theta) (\sin 2\theta \cos 2\theta)$$

2倍角の公式 $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ より、

$$P = \left( \frac{1}{2} \sin 2\theta \right) \left( \frac{1}{2} \sin 4\theta \right)$$

$$P = \frac{1}{4} \sin 2\theta \sin 4\theta$$

ここで、$\sin 4\theta = \cos\theta$ であるから、

$$P = \frac{1}{4} \sin 2\theta \cos\theta$$

さらに2倍角の公式を用いて、

$$P = \frac{1}{4} (2\sin\theta\cos\theta) \cos\theta$$

$$P = \frac{1}{2} \sin\theta \cos^2\theta$$

$$P = \frac{1}{2} \sin\theta (1 - \sin^2\theta)$$

これに(2)で求めた $\sin\theta = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ を代入する。

$$P = \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \right) \left\{ 1 - \left( \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \right)^2 \right\}$$

$$P = \frac{\sqrt{5} - 1}{8} \left( 1 - \frac{6 - 2\sqrt{5}}{16} \right)$$

$$P = \frac{\sqrt{5} - 1}{8} \left( \frac{10 + 2\sqrt{5}}{16} \right)$$

$$P = \frac{\sqrt{5} - 1}{8} \cdot \frac{2(5 + \sqrt{5})}{16}$$

$$P = \frac{(\sqrt{5} - 1)(5 + \sqrt{5})}{64}$$

$$P = \frac{5\sqrt{5} + 5 - 5 - \sqrt{5}}{64}$$

$$P = \frac{4\sqrt{5}}{64}$$

$$P = \frac{\sqrt{5}}{16}$$

解説

$\sin 18^\circ$ の値を求める有名な一連の誘導問題である。 (1)では、$\sin \alpha = \cos \beta$ の形を $\sin \alpha = \sin(90^\circ - \beta)$ に直すことがポイントとなる。 (2)の $4\sin^2\theta + 2\sin\theta - 1 = 0$ は正五角形にまつわる図形問題などでも頻出する方程式であり、$\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ は結果を覚えておくと検算に役立つ。 (3)は、すべてを $\sin 18^\circ$ の値から直接計算することも可能だが、余角の公式 $\sin(90^\circ - x) = \cos x$ を用いて $\sin \theta \cos \theta$ のペアを作り、2倍角の公式を利用して次数や項数を減らしていくと計算が大幅に楽になる。