数学2 三角関数 問題 23 解説

方針・初手

与えられた $\tan\alpha$ と $\sin\beta$ の値から、加法定理を用いて $\tan(\alpha+\beta)$ または $\sin(\alpha+\beta)$ などの値を計算し、そこから角 $\alpha+\beta$ を特定する。 その際、与えられた $\alpha, \beta$ の条件から $\alpha+\beta$ のとり得る値の範囲をあらかじめ絞り込んでおくことが重要である。

解法1

$0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ であるから $\cos\beta > 0$ である。

$\sin\beta = \frac{3}{5}$ より、

$$\cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \frac{4}{5}$$

よって、

$$\tan\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{3}{4}$$

である。正接の加法定理より、

$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta} = \frac{\frac{1}{7} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4}} = \frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}} = 1$$

ここで、$\alpha, \beta$ のとり得る値の範囲を確認する。

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ であり、$\tan\alpha = \frac{1}{7} < 1 = \tan\frac{\pi}{4}$ であるから、$0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$ である。

また、$\tan\beta = \frac{3}{4} < 1 = \tan\frac{\pi}{4}$ であるから、$0 < \beta < \frac{\pi}{4}$ である。

これらより、

$$0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$$

である。この範囲で $\tan(\alpha + \beta) = 1$ を満たす角を求めると、

$$\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$$

を得る。

解法2

$\sin\alpha, \cos\alpha$ の値と $\cos\beta$ の値を求める。

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ であるから $\cos\alpha > 0, \sin\alpha > 0$ である。

$1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$ より、

$$\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \left(\frac{1}{7}\right)^2} = \frac{49}{50}$$

よって、$\cos\alpha = \frac{7}{5\sqrt{2}}$ であり、$\sin\alpha = \cos\alpha \tan\alpha = \frac{1}{5\sqrt{2}}$ である。

また、$0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ であるから $\cos\beta > 0$ であり、

$$\cos\beta = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \frac{4}{5}$$

である。正弦の加法定理より、

$$\begin{aligned} \sin(\alpha + \beta) &= \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta \\ &= \frac{1}{5\sqrt{2}} \cdot \frac{4}{5} + \frac{7}{5\sqrt{2}} \cdot \frac{3}{5} \\ &= \frac{4 + 21}{25\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}$$

同様に余弦の加法定理より、

$$\begin{aligned} \cos(\alpha + \beta) &= \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta \\ &= \frac{7}{5\sqrt{2}} \cdot \frac{4}{5} - \frac{1}{5\sqrt{2}} \cdot \frac{3}{5} \\ &= \frac{28 - 3}{25\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}$$

$\sin(\alpha + \beta) > 0, \cos(\alpha + \beta) > 0$ であるから、$0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$ の範囲にある。

この範囲で $\sin(\alpha + \beta) = \frac{1}{\sqrt{2}}, \cos(\alpha + \beta) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす角は、

$$\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$$

である。

解法3

複素数平面を利用する。

複素数 $z_1 = 7+i$, $z_2 = 4+3i$ の偏角をそれぞれ $\theta_1, \theta_2$ とすると、$0 < \theta_1 < \frac{\pi}{2}$, $0 < \theta_2 < \frac{\pi}{2}$ であり、

$$\tan\theta_1 = \frac{1}{7}, \quad \sin\theta_2 = \frac{3}{\sqrt{4^2+3^2}} = \frac{3}{5}$$

を満たすため、$\theta_1 = \alpha, \theta_2 = \beta$ としてよい。

ここで、積 $z_1 z_2$ を計算すると、

$$\begin{aligned} z_1 z_2 &= (7+i)(4+3i) \\ &= 28 + 21i + 4i - 3 \\ &= 25 + 25i \\ &= 25(1+i) \end{aligned}$$

積の偏角の性質より、$\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) = \alpha + \beta$ である。

一方で、$z_1 z_2 = 25(1+i)$ は第1象限の複素数であり、その偏角は $\frac{\pi}{4}$ である。

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}, 0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ より $0 < \alpha + \beta < \pi$ であるから、

$$\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$$

を得る。

解説

与えられた複数の三角比から角の和を求める問題では、加法定理を用いて $\tan(\alpha+\beta)$ や $\sin(\alpha+\beta)$ などの値を計算し、そこから角度を特定するのが定石である。

特に正接（$\tan$）を用いると計算が比較的簡潔になることが多い。

ただし、単に三角比の値が出たからといって直ちに角度を決定してはならない。与えられた条件から $\alpha, \beta$ のとり得る値の範囲を絞り込み、$\alpha+\beta$ の範囲を確定させることが重要である。これを怠ると、条件を満たさない解を答えてしまう可能性があるため注意が必要である。

また、解法3のように複素数平面を用いる方法は、三角関数の加法定理を図形的に解釈する視点として優れており、見通しよく計算を進めることができる。

答え

$$\frac{\pi}{4}$$