数学2 三角関数 問題 24 解説

方針・初手

与えられた不等式を整理し、$\cos$ についての基本的な不等式を導く。その後、$3\theta + \frac{\pi}{4}$ を1つの変数と見なして、与えられた $\theta$ の範囲から新しい変数のとりうる範囲を求める。最後に単位円を利用して、その範囲内で不等式を満たす角度の範囲を特定し、$\theta$ の範囲に戻す。

解法1

与えられた不等式を変形する。

$$2\cos\left(3\theta + \frac{\pi}{4}\right) + 1 \leqq 0$$

$$\cos\left(3\theta + \frac{\pi}{4}\right) \leqq -\frac{1}{2}$$

ここで、$\theta$ の範囲は $-\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ である。辺々を $3$ 倍すると、

$$-\frac{3\pi}{2} \leqq 3\theta \leqq \frac{3\pi}{2}$$

さらに辺々に $\frac{\pi}{4}$ を加えると、

$$-\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \leqq 3\theta + \frac{\pi}{4} \leqq \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4}$$

すなわち、

$$-\frac{5\pi}{4} \leqq 3\theta + \frac{\pi}{4} \leqq \frac{7\pi}{4}$$

となる。ここで $\alpha = 3\theta + \frac{\pi}{4}$ とおくと、不等式は $\cos\alpha \leqq -\frac{1}{2}$ となり、$\alpha$ の範囲は $-\frac{5\pi}{4} \leqq \alpha \leqq \frac{7\pi}{4}$ である。

この範囲において、$\cos\alpha \leqq -\frac{1}{2}$ を満たす $\alpha$ の範囲を求める。

$$-\frac{5\pi}{4} \leqq \alpha \leqq -\frac{2\pi}{3}, \quad \frac{2\pi}{3} \leqq \alpha \leqq \frac{4\pi}{3}$$

$\alpha$ を $3\theta + \frac{\pi}{4}$ に戻して、それぞれ $\theta$ について解く。

(i) $-\frac{5\pi}{4} \leqq 3\theta + \frac{\pi}{4} \leqq -\frac{2\pi}{3}$ のとき

辺々から $\frac{\pi}{4}$ を引いて、

$$-\frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4} \leqq 3\theta \leqq -\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$$

$$-\frac{3\pi}{2} \leqq 3\theta \leqq -\frac{11\pi}{12}$$

辺々を $3$ で割って、

$$-\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq -\frac{11\pi}{36}$$

(ii) $\frac{2\pi}{3} \leqq 3\theta + \frac{\pi}{4} \leqq \frac{4\pi}{3}$ のとき

辺々から $\frac{\pi}{4}$ を引いて、

$$\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \leqq 3\theta \leqq \frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$$

$$\frac{5\pi}{12} \leqq 3\theta \leqq \frac{13\pi}{12}$$

辺々を $3$ で割って、

$$\frac{5\pi}{36} \leqq \theta \leqq \frac{13\pi}{36}$$

(i) と (ii) より、求める $\theta$ の範囲が得られる。

解説

三角関数の合成角を含む方程式や不等式を解く際の典型的な問題である。角の部分（この問題では $3\theta + \frac{\pi}{4}$）を一つの変数として扱い、まずはその変数のとりうる範囲を正確に求めることが重要である。

今回は始点が $-\frac{5\pi}{4}$ と負の角度になっているため、単位円周上の対応する位置を正しく把握し、$\cos\alpha \leqq -\frac{1}{2}$ となる区間のうち、定義域に含まれる部分を漏れなく拾い上げる必要がある。

答え

$-\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq -\frac{11\pi}{36}$

$\frac{5\pi}{36} \leqq \theta \leqq \frac{13\pi}{36}$