数学2 三角関数 問題 25 解説

方針・初手

与えられた式の角度に規則性がないかを探る。

$$\frac{7}{18}\pi = \frac{\pi}{18} + \frac{6}{18}\pi = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi}{3}$$

$$\frac{13}{18}\pi = \frac{\pi}{18} + \frac{12}{18}\pi = \frac{\pi}{18} + \frac{2}{3}\pi$$

このように、角度が $\frac{\pi}{3}$ ずつ増加していることがわかる。そこで $\theta = \frac{\pi}{18}$ とおくと、計算の見通しが良くなる。また、$\cos^2 x$ などの2次の三角関数を含む和は、半角の公式（倍角の公式）を用いて次数を下げるのが定石である。

解法1

$\theta = \frac{\pi}{18}$ とおき、求める式を $P$ とする。

$$P = \cos^2 \theta + \cos^2 \left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) + \cos^2 \left(\theta + \frac{2}{3}\pi\right)$$

半角の公式 $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ を用いて、すべての項の次数を下げる。

$$P = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} + \frac{1 + \cos\left(2\theta + \frac{2}{3}\pi\right)}{2} + \frac{1 + \cos\left(2\theta + \frac{4}{3}\pi\right)}{2}$$

$$= \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \left\{ \cos 2\theta + \cos\left(2\theta + \frac{2}{3}\pi\right) + \cos\left(2\theta + \frac{4}{3}\pi\right) \right\}$$

括弧内の第2項と第3項に加法定理を適用して展開する。

$$\cos\left(2\theta + \frac{2}{3}\pi\right) = \cos 2\theta \cos \frac{2}{3}\pi - \sin 2\theta \sin \frac{2}{3}\pi = -\frac{1}{2}\cos 2\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\theta$$

$$\cos\left(2\theta + \frac{4}{3}\pi\right) = \cos 2\theta \cos \frac{4}{3}\pi - \sin 2\theta \sin \frac{4}{3}\pi = -\frac{1}{2}\cos 2\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\theta$$

これらを足し合わせると、$\sin 2\theta$ の項が打ち消し合う。

$$\cos\left(2\theta + \frac{2}{3}\pi\right) + \cos\left(2\theta + \frac{4}{3}\pi\right) = -\cos 2\theta$$

したがって、括弧内の和は次のようになる。

$$\cos 2\theta + \cos\left(2\theta + \frac{2}{3}\pi\right) + \cos\left(2\theta + \frac{4}{3}\pi\right) = \cos 2\theta - \cos 2\theta = 0$$

以上より、求める値 $P$ は以下の通りである。

$$P = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{3}{2}$$

解法2

式の次数を下げるところまでは解法1と同様である。

$$P = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \left\{ \cos 2\theta + \cos\left(2\theta + \frac{2}{3}\pi\right) + \cos\left(2\theta + \frac{4}{3}\pi\right) \right\}$$

括弧内の第2項と第3項の和について、和と積の公式 $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$ を適用する。

$$\cos\left(2\theta + \frac{2}{3}\pi\right) + \cos\left(2\theta + \frac{4}{3}\pi\right) = 2\cos\left(\frac{4\theta + 2\pi}{2}\right)\cos\left(\frac{-\frac{2}{3}\pi}{2}\right)$$

$$= 2\cos(2\theta + \pi)\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)$$

ここで、$\cos(2\theta + \pi) = -\cos 2\theta$ であり、また $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ であるから、

$$2\cos(2\theta + \pi)\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = 2(-\cos 2\theta) \cdot \frac{1}{2} = -\cos 2\theta$$

となる。したがって、

$$\cos 2\theta + \cos\left(2\theta + \frac{2}{3}\pi\right) + \cos\left(2\theta + \frac{4}{3}\pi\right) = \cos 2\theta - \cos 2\theta = 0$$

よって、求める値は以下の通りである。

$$P = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{3}{2}$$

解説

角度の規則性に気づき、適切に文字で置き換えることで計算の負担を大きく減らすことができる問題である。また、$\sin^2 x$ や $\cos^2 x$ の和を求める計算では、半角の公式を利用して1次の式に変換する手法が極めて有効である。

本問の計算結果からもわかるように、この式は $\theta = \frac{\pi}{18}$ という特定の角に限らず、任意の $\theta$ に対して常に $\frac{3}{2}$ となる性質（恒等式）を持っている。

答え

$\frac{3}{2}$