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数学2 三角関数問題 26 解説

方針・初手

(1)、(2)ともに三角関数の等式を解く問題である。方針としては大きく分けて2つある。1つ目は、加法定理から派生する倍角の公式や3倍角の公式を用いて角を統一し、因数分解により解く方法である。2つ目は、和を積に直す公式（または差を積に直す公式）を用いて方程式を積の形に変形する方法である。どちらの手法を用いても容易に解を導くことができるため、計算ミスの少ない方法を選ぶとよい。

解法1

(1)

3倍角の公式 $\cos 3\alpha = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha$ を用いると、与えられた等式は以下のように変形できる。

$$\cos \alpha = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha$$

移項して整理すると、

$$4\cos^3 \alpha - 4\cos \alpha = 0$$

$$4\cos \alpha (\cos^2 \alpha - 1) = 0$$

したがって、

$$\cos \alpha = 0 \quad \text{または} \quad \cos^2 \alpha = 1$$

すなわち、

$$\cos \alpha = 0, \pm 1$$

ここで、与えられた範囲 $0 \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{2}$ において考えると、$\cos \alpha$ のとり得る値の範囲は $0 \leqq \cos \alpha \leqq 1$ であるから、$\cos \alpha = -1$ は不適となる。

よって、$\cos \alpha = 0, 1$ となる。

$\cos \alpha = 0$ のとき、

$$\alpha = \frac{\pi}{2}$$

$\cos \alpha = 1$ のとき、

$$\alpha = 0$$

以上より、求める $\alpha$ の値は $\alpha = 0, \frac{\pi}{2}$ である。

(2)

2倍角の公式 $\cos 4\beta = \cos (2 \cdot 2\beta) = 2\cos^2 2\beta - 1$ を用いると、与えられた等式は以下のように変形できる。

$$\cos 2\beta = 2\cos^2 2\beta - 1$$

移項して整理すると、

$$2\cos^2 2\beta - \cos 2\beta - 1 = 0$$

左辺を因数分解すると、

$$(2\cos 2\beta + 1)(\cos 2\beta - 1) = 0$$

したがって、

$$\cos 2\beta = -\frac{1}{2}, 1$$

ここで、与えられた範囲 $0 \leqq \beta \leqq \frac{\pi}{2}$ より、$2\beta$ のとり得る値の範囲は $0 \leqq 2\beta \leqq \pi$ である。

この範囲において、 $\cos 2\beta = -\frac{1}{2}$ を解くと、

$$2\beta = \frac{2}{3}\pi$$

$$\beta = \frac{\pi}{3}$$

また、$\cos 2\beta = 1$ を解くと、

$$2\beta = 0$$

$$\beta = 0$$

以上より、求める $\beta$ の値は $\beta = 0, \frac{\pi}{3}$ である。

解法2

(1)

和を積に直す公式 $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$ を用いる。与式より $\cos 3\alpha - \cos \alpha = 0$ であるから、

$$-2\sin \frac{3\alpha + \alpha}{2} \sin \frac{3\alpha - \alpha}{2} = 0$$

整理して、

$$-2\sin 2\alpha \sin \alpha = 0$$

したがって、

$$\sin 2\alpha = 0 \quad \text{または} \quad \sin \alpha = 0$$

$0 \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{2}$ より、$2\alpha$ の範囲は $0 \leqq 2\alpha \leqq \pi$ である。

$\sin 2\alpha = 0$ のとき、この範囲では $2\alpha = 0, \pi$ であり、

$$\alpha = 0, \frac{\pi}{2}$$

$\sin \alpha = 0$ のとき、この範囲では

$$\alpha = 0$$

これらを合わせて、求める $\alpha$ の値は $\alpha = 0, \frac{\pi}{2}$ である。

(2)

(1)と同様に和を積に直す公式を用いる。与式より $\cos 4\beta - \cos 2\beta = 0$ であるから、

$$-2\sin \frac{4\beta + 2\beta}{2} \sin \frac{4\beta - 2\beta}{2} = 0$$

整理して、

$$-2\sin 3\beta \sin \beta = 0$$

したがって、

$$\sin 3\beta = 0 \quad \text{または} \quad \sin \beta = 0$$

$0 \leqq \beta \leqq \frac{\pi}{2}$ より、$3\beta$ の範囲は $0 \leqq 3\beta \leqq \frac{3}{2}\pi$ である。

$\sin 3\beta = 0$ のとき、この範囲では $3\beta = 0, \pi$ であり、

$$\beta = 0, \frac{\pi}{3}$$

$\sin \beta = 0$ のとき、この範囲では

$$\beta = 0$$

これらを合わせて、求める $\beta$ の値は $\beta = 0, \frac{\pi}{3}$ である。

解説

三角方程式を解く際の定石である「角度を統一して変数変換（因数分解）に持ち込む」か「差を積の形に直して因数分解済みの形を作る」かのどちらかを用いる基本的な問題である。

解法1では、(1)で3倍角の公式を、(2)で2倍角の公式を用いることでそれぞれ $\alpha$、 $2\beta$ に角を統一している。3倍角の公式は導出に時間がかかる場合があるため、暗記しておくか素早く導けるようにしておく必要がある。

解法2は、和と差の積の公式を用いることで、一気に「積 $= 0$」の形を作ることができるため、計算量が少なく見通しがよい。この公式に慣れていれば、こちらの解法を選択する方がスマートである。いずれの解法においても、最後に解を求める際に与えられた変数の定義域（本問では $0 \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{2}$ および $0 \leqq \beta \leqq \frac{\pi}{2}$）に注意して、適さない解を正しく除外することが重要である。